Question

高等数学定积分问题，为什么有界是可积的必要条件？求解释，求反例

高等数学定积分问题，为什么有界是可积的必要条件？求解释，求反例

Answer 1

。。。。。。
这个很好解释，一个函数可积的充分必要条件是任意分化的最大振幅趋于零；或者是达姆大和和达姆小和的极限相等。
这个用分化来解释比较容易。首先如果函数无界，那么无论什么分化，必然在某一个区间里振幅大于1，这个可以用比区间套定理来证明。因此一个函数黎曼可积，必然这个函数有界限。
至于反例，是有界函数不可积的例子吗，这个很多啊，比如黎曼函数就是一个反例。

Answer 2

　　关于有界是可积的必要条件的问题，在高等数学中一般不做深入讨论，但在数学类专业的基础课数学分析中都有证明，有兴趣可参考任何一本数学分析的教材。
　　事实上，由定积分的定义可知，对于任意的分划，ξ 点是任意取的，若函数在某一点附近无界，则当取到的某 ξ 点正好是无界点时，所做的 Riemann 和将无意义，……。

Answer 3

这个是定积分的定义要求的，如果无界，不符合定积分的定义，当然也就不是定积分了。