Question

Ax=b的解的问题

找出A分别满足以下条件
　　当1）有一个解或者无解　依据于b的值
　　　2）有无数个解　　　　于b的值无关
　　　3）无解或者无数个解　依据于b的值
　　　4）有一个解　　　　　与b的值无关

Answer 1

分情况讨论：
(1)若A=0,则Ax=0,此时如果b=0,则存在无数个解；如果b≠0,无解;
(2)若A≠0,则x=b/A,有唯一解,与b的值无关;

所以A=0时，要么有无数个解,要么无解;A≠0时,只有一个解，与b的值无关

追问

我这个是线数的　求矩阵A

追答

如果是矩阵方程（或者说非齐次线性方程）：

1. 有解的充分必要条件是rank(A)=rank(A,b)，其中(A,b)是增广矩阵；换句话说，当rank(A)≠rank(A,b)时，方程无解；

2. 在rank(A)=rank(A,b)下，若rank(A)=n（其中n是未知量个数），则方程有唯一解；若rank(A)<n，则方程有无穷多解，其全部解可以由某一特解和它的导出方程（即其所对应的齐次线性方程）的一个基础解系所构成的向量组线性表示；

综上，（1）当rank(A)=n，方程无解或有唯一解，取决于b的值；当rank(A)<n时，方程无解或有无穷多解，取决于b的值；（2）若b的值不改变增广矩阵的秩，即A是一个行满秩矩阵，则当rank(A)=n，即A是一个n阶满秩方阵时，方程有唯一解（这很容易理解，因为此时A是可逆矩阵，在方程两端可以左乘A的逆，x=A(-1)*b）；当rank(A)<n，即A是一个行满秩的非方阵，则方程有无数多解

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