Question

在三角形ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).(1)判断三角形ABC的形状

用二倍角公式，详细过程

Answer 1

1.因为有：
sinC=sin(A+B)
所以原式可以化简为：
2*sin[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]*2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
=
2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
=>cos[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]=1/2
=>sin(C/2)*sin(C/2)=1/2
=>C/2=45(度）
=>C=90(度）
所以该三角形是直角三角形。
2.利用第一题结论得：0<r<=(√2-1)/2.
面积ab=（a+b+1）*r，a^2+b^2=1,令a=cosx，b=sinx，
r=sinxcosx/1+sinx+cosx=sin2x/2[1+√2sin(x+π/4)]
求r值域
就得到答案0<r<=(√2-1)/2

Answer 2

1.因为有：
sinC=sin(A+B)

所以原式可以化简为：
2*sin[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]*2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
= 2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
=>cos[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]=1/2

=>sin(C/2)*sin(C/2)=1/2

=>C/2=45(度）

=>C=90(度）

所以该三角形是直角三角形。

Answer 3

考点：三角形的形状判断；正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，与已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）联立，可求得cosC（sinB+sinA）=0，从而可判断△ABC的形状．
解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinA=sinCcosB-sinAcosC，
在△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinCcosB-sinAcosC，即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC，
∴cosC（sinB+sinA）=0，
∵sinB＞0，sinA＞0，
∴cosC=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦，求得cosC（sinB+sinA）=0是转化的关键，属于中档题