Question

这个级数怎么可能收敛？

为什么不发散？n→∞的时候算出来是e-1≠0

Answer 1

令 f(x) = x^(1/x) , x ≥ 2， 则 lnf(x) = lnx/x, f'(x)/f(x) = (1-lnx)/x^2
f'(x) = f(x)(1-lnx)/x^2, 当 x > e 时， f'(x) < 0, 函数单调减少。
lim<x→+∞>x^(1/x) = lim<x→+∞>e^(lnx/x)
= e^lim<x→+∞>lnx/x = e^lim<x→+∞>1/x = e^0 = 1
取 x = n， 当 n ≥ 3 时，n^(1/n) 单调减少， 即 n^(1/n)-1 单调减少。
且 lim<n→∞>n^(1/n) = 1， 即 lim<n→∞>[n^(1/n)-1] = 0.
满足交错级数收敛的条件 ：lim<n→∞>a<n> = 0, a<n> > a<n+1>.
故该交错级数收敛。

Answer 2

追答

由两个图片中的结论，根据交错级数判别法可知原级数收敛