Question

这个级数怎么证明收敛性？

高数 幂级数

Answer 1

原级数是幂级数。收敛半径 R = 1/ρ
其中 ρ = lim<n→∞>a<n+1>/a<n>
= lim<n→∞>(n+1)!n^n/[(n+1)^(n+1)n!]
= lim<n→∞>[n/(n+1)]^n = lim<n→∞>{[1-1/(n+1)]^[-(n+1)]}^[-n/(n+1)]
= e^lim<n→∞>[-n/(n+1)] = e^lim<n→∞>[-1/(1+1/n)] = 1/e ，
则级数收敛半径 R = 1/ρ = e。

追问

答案是发散

追答

幂函数是讨论收敛域， 不能笼统说收敛还是发散。

Answer 2

分享一种解法。∵级数∑1/(nln)与∫(2,∞)dx/(xlnx)有相同的敛散性，
又，∫(2,∞)dx/(xlnx)=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞，发散。∴级数∑1/(nln)发散。
供参考。

追问

答案是收敛

看错了