Question

已知a,b为锐角，cosa=3/5,tan(a+b)=-2 (1)求tan2a(2)求sin（a-b）

Answer 1

⑴因为a为锐角，cosa=3/5，则sina=4/5，tana=4/3，所以tan2a＝tan(a＋a)＝(tana＋tana)/(1-tanatana)＝(8/3)/(1-16/9)＝-24/7
⑵因为tan(a＋b)＝-2，即有(tana＋tanb)/(1-tanatanb)＝(4/3＋tanb)/(1-4tanb/3)＝-2可以解得tanb＝2，根据tanb＝sinb/cosb，sinb²＋cosb²＝1，两式联解，可得sinb＝2√5/5，cosb＝√5/5(注意b是锐角)，然后sin(a-b)＝sinacosb-cosasinb＝-2√5/25

Answer 2

(1)sina=±√1 - cos²a=±√1 - (3/5)²
=±4/5
∵a是锐角
∴sina=4/5
则tana=sina/cosa=4/3
∴tan2a=2tana/(1 - tan²a)
=[2•(4/3)]/[1 - (4/3)²]=-24/7
(2)由(1)得：sin2a=2sinacosa=24/25
cos2a=2cos²a - 1=-7/25
∵tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=-2
∴sin(a+b)=-2cos(a+b)
∵sin²(a+b) + cos²(a+b)=1
∴[-2cos(a+b)]² + cos²(a+b)=1
5cos²(a+b)=1
cos²(a+b)=1/5，则cos(a+b)=±√5/5
∵a，b为锐角，且tan(a+b)=-2<0
∴cos(a+b)=-√5/5
则sin(a+b)=-2cos(a+b)=(2√5)/5
∴sin(a-b)=sin[2a-(a+b)]
=sin2a•cos(a+b) - cos2a•sin(a+b)
=(24/25)•(-√5/5) - (-7/25)•(2√5/5)
=(-2√5)/25

Answer 3

α,β为锐角
cosα=3/5→sinα=4/5、tanα=4/3
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)=-2
(4/3+tanβ)=-2+8/3tanβ→tanβ=(-10/3)/(1-8/3)=2
∴tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(8/3)/(1-9/16)=-72/21
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(4/5)·1/√5-(3/5)·2/√5=-2√5/25

追问

tana=4/3,tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(8/3)/(1-9/16)=-72/21，tan²不是 =16/9吗?
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(4/5)·1/√5-(3/5)·2/√5=-2√5/25，为什么cosb=1/√5,sinβ=2/√5?

追答

tan²是 =16/9，写反了，但结果是对的

tanβ=2 辅助Δ斜边=√5→cosβ=1/√5，sinβ=2/√5