Question

如图AE是圆O的直径,AF垂直BC于D，试说明:BE=CF

Answer 1

我老师说。这种题是最无聊最没用的题了！！
证明：
证法1：
因为AE是圆O的直径
所以，∠ABE=90°(直径所对的圆周角是直角)
即∠BAE=90°-∠AEB
因为∠AEB=∠ACD(在同圆中，同弧所对的圆周角相等)
所以，∠BAE=90°-∠ACD(等量代换)
因为AF⊥BC即AD⊥DC
所以，∠ADC=90°
即∠CAD=90°-∠ACD
所以，∠BAE=∠CAD(等量代换)
所以，弧BE=弧CF(等角对等弧)
所以，BE=CF(等弧对等弦)

证法2：连结EF
因为AE是圆O的直径
所以，∠AFE=90°(直径所对的圆周角是直角)
所以，AF⊥EF
因为AF⊥BC
所以，EF∥BC(垂直于同一条直线的两条直线平行)
所以，BE=CF(夹在平行弦间的弦相等)
亲，学这没用，真的

Answer 2

作个CE辅助线，根据同弧所对圆周角得角ABC=角AEC，又因为AF垂直于BC及角ACE所对的是直径，得角ADB=角ACE=90度。再可得角BAF等于角EAC。因为角EAF公共，得角BAE等于角CAF，最后得BE=CF。过程有跳跃请谅解。