大一高数微分方程怎么解
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原方程可化为
y'=-y/x² +e^(1/x)(*)
先求对应的齐次方程y'=-y/x²
dy/y=-dx/x²
ln|y|=1/x +C
即y=Ce^(1/x)
由常数变易法，令y=C(x)e^(1/x)
则y'=C'(x)e^(1/x) - C(x)e^(1/x) /x²
代入方程(*)得
C'(x)=1，C(x)=x+C
故原方程的通解为y=(x+C)e^(1/x)
由y(1)=(1+C)e=0得C=-1
故特解为y=(x-1)e^(1/x)
设斜渐近线为y=ax+b
则a=lim[x→∞]y/x=(1-1/x)e^(1/x)=1
b=lim[x→∞](y-x)=lim[x→∞][(x-1)e^(1/x) -x]
=lim[t→0][(1-t)e^t -1]/t(令t=1/x)
=lim[t→0](-te^t)=0
故斜渐近线为y=x
y'=-y/x² +e^(1/x)(*)
先求对应的齐次方程y'=-y/x²
dy/y=-dx/x²
ln|y|=1/x +C
即y=Ce^(1/x)
由常数变易法，令y=C(x)e^(1/x)
则y'=C'(x)e^(1/x) - C(x)e^(1/x) /x²
代入方程(*)得
C'(x)=1，C(x)=x+C
故原方程的通解为y=(x+C)e^(1/x)
由y(1)=(1+C)e=0得C=-1
故特解为y=(x-1)e^(1/x)
设斜渐近线为y=ax+b
则a=lim[x→∞]y/x=(1-1/x)e^(1/x)=1
b=lim[x→∞](y-x)=lim[x→∞][(x-1)e^(1/x) -x]
=lim[t→0][(1-t)e^t -1]/t(令t=1/x)
=lim[t→0](-te^t)=0
故斜渐近线为y=x
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