Question

在Rt三角形ABC中,∠C=90,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a,b是关于x的方程x²-7x+c+7=0的两根

如图，在Rt三角形ABC中,∠C=90,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a,b是关于x的方程x²-7x+c+7=0的两根,求AB边上的中线的长是？（要写步骤）

Answer 1

Rt三角形ABC，有 a²+b²＝c² ①
a,b是关于x的方程x²-7x+c+7=0的两根，由韦达定理，
a+b＝7 ②
a*b＝c+7 ③
把①③带入②²，即有
c²+2(c+7)＝49
c²+2c-35＝0
(c-5)(c+7)＝0
解得c＝5，另一根-7舍去
又在Rt三角形ABC中，斜边中线＝斜边长一半，即AB边中线长为2.5
请参考

追问

请问学霸，为什么你说 a+b=7；a*b＝c+7 ，能教我吗？

追答

百度一下韦达定理，有很清楚的证明解释的。两根之和，两根之积

追问

知道了，谢谢学神！

Answer 2

根据根与系数的关系,得,
a+b=7,
ab=c+7
在直角三角形ABC中,由勾股定理,得,
a²+b²=c²
（a+b）²-2ab=c²
将a+b=7,ab=c+7代人,得,
49-2（c+7）=c²
c²+2c-35=0,
解得c1=5,c2=-7
因为三角形的边长为正数
所以C=5,
所以AB边上的中线为AB/2=5/2

追问

请问学霸，为什么你说 a+b=7；a*b＝c+7 ，能教我吗？

追答

这是韦达定理的应用
ax²+bx+c=0
则有 x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

追问

哦，此时的a，b充当x的两个根x1与x2，x1+x2=负a分之b，b=-7，a=1，所以负a分之b等于负一分之负7也就是7，所以a+b=7；同理a×b=c+7

追答

对的，就是这么理解
最后求出c
然后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半

追问

打扰一下，请问学霸；我数学基础差，我就是这（a+b）²-2ab=c² 一部看不懂 ，为什么把a²+b²=c²中的a替换成（a+b），把b替换成“-2ab”

追答

（a+b）²=a²+b²+2ab展开式得到的
a²+b²=（a+b）²-2ab

追问

谢谢！终于搞懂了！现在这个号上没多少，255，你看够吗？谢谢！

Answer 3

由题意得a+b=7，ab=c+7
又<C=90°得a²+b²=c²
即(a+b)²-2ab=c²
得49-2c-14=c²
c²+2c-35=0
(c+7)(c-5)=0
得c=5
∴斜边AB上的中线长是2.5

追问

请问学霸，为什么你说 a+b=7；a*b＝c+7 ，能教我吗？

Answer 4

这题用韦达定理
a b 是方程的两根
∴a+b＝－（-7/1）＝7 ab＝c＋7
a²＋b²＝（a+b）²－2ab＝7²－2×（c＋7）＝35-2c
又在Rt△ABC中，有a²＋b²＝c²
∴c²＝35-2c
∴c²＋2c－35＝0
∴c＝5 或c＝-7（舍去）
∴AB边上中线＝5/2

追问

请问学霸，为什么你说 a+b=7；a*b＝c+7 ，能教我吗？

追答

就是韦达定理呀，两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数

一元二次方程的一般式ax²＋bx＋c＝0 两根之和＝－（b/a）

两根之积＝c/a

这个背下来就好了

其他回答里也有说，这也叫二次方程的根与系数的关系。它和根的判别式都是二次方程里比较重要的内容，都是套路，记一下就好了

Answer 5

5/2

追问

请问学霸，为什么你说 a+b=7；a*b＝c+7 ，能教我吗？

追答

韦达定理：
x²-px+q=0
x1+x2=p
x1x2=q