Question

莱布尼茨的微积分与牛顿的都什么不同?

具体点!谢谢!

Answer 1

1.1 牛顿的“流数术”
牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭.1661年牛顿进入剑桥大学三一学院,受教于巴罗.笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》,这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题,在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展.1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》,这也是历史上第一篇系统的微积分文献.在简论中,牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题,发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积,又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来,将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”.
这样,牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分,将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是在这种意义下,牛顿创立了微积分.
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度.1687年,牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》,这部著作中包含他的微积分学说,也是牛顿微积分学说的最早的公开表述,因此该巨著成为数学史上划时代的著作.而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表.
1.2 莱布尼茨的微积分工作
莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭,青少年时期受到良好的教育.1672年至1676年,莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作.这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间,微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础.
1684年,莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果,在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》）,它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则,还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用.1686年,莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文,这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系,包含积分符号并给出了摆线方程：
莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的,有时他的是有穷量,有时又是小于任何指定的量,但不是零.
1.3 牛顿和莱布尼兹各自独立创立了微积分
牛顿和莱布尼茨就微积分的创立而言,尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色,但二者的功绩是相当的.然而,一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论.瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为,莱布尼茨的微积分工作从牛顿那里有所借鉴,进一步莱布尼茨又被英国数学家指责为剽窃者.这样就造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和,甚至互相尖锐地攻击对方.这件事的结果,使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳,停止了思想交换.
在牛顿和莱布尼茨二人死后很久,事情终于得到澄清,调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明,就发明时间而言,牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言,莱布尼茨先于牛顿.
“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理,牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理.微积分基本定理是微积分中最重要的定理,它建立了微分和积分之间的联系,指出微分和积分互为逆运算.
2.严格微积分的奠基者：柯西和魏尔斯特拉斯

Answer 2

1665年夏天,因为英国爆发鼠疫,剑桥大学暂时关闭.刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多.这一年多被称为“奇迹年”,牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期.在研究这些问题过程中,他发现了他称为“流数术”的微积分.他在1666年写下了一篇关于流数术的短文,之后又写了几篇有关文章.但是这些文章当时都没有公开发表,只是在一些英国科学家中流传.
首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨.莱布尼茨在1675年已发现了微积分,但是也不急于发表,只是在手稿和通信中提及这些发现.1684年,莱布尼茨正式发表他对微分的发现.两年后,他又发表了有关积分的研究.在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下,莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲.到1696年时,已有微积分的教科书出版.
起初,并没有人来争夺微积分的发现权.1699年,移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人,另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨,指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术,但此人并无威望,遭到莱布尼茨的驳斥后,就没了下文.1704年,在其光学著作的附录中,牛顿首次完整地发表了其流数术.当年出现了一篇匿名评论,反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分.
于是究竟是谁首先发现了微积分,就成了一个需要解决的问题了.1711年,苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰·凯尔在致王家学会书记的信中,指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果,只不过用不同的符号表示法改头换面.同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议,要求王家学会禁止凯尔的诽谤.王家学会组成一个委员会调查此事,在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分,并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作.此时牛顿是王家学会的会长,虽然在公开的场合假装与这个事件无关,但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的.他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章.
当然,争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息.事实上,这场争论一直延续到了现在.没有人,包括莱布尼茨本人,否认牛顿首先发现了微积分.问题是,莱布尼茨是否独立地发现了微积分?莱布尼茨是否剽窃了牛顿的发现?
1673年,在莱布尼茨创建微积分的前夕,他曾访问伦敦.虽然他没有见过牛顿,但是与一些英国数学家见面讨论过数学问题.其中有的数学家的研究与微积分有关,甚至有可能给莱布尼茨看过牛顿的有关手稿.莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一些手稿,但是又说这些手稿对他没有价值.

Answer 3

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。这篇文章有划时代的意义,含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

所以就惯例来说一般认为是莱布尼茨

Answer 4

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。这篇文章有划时代的意义,含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

所以就惯例来说一般认为是莱布尼茨

Answer 5

1.1 牛顿的“流数术”

牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。

这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。

牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。

1.2 莱布尼茨的微积分工作

莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。

1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：

莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量，但不是零。

1.3 牛顿和莱布尼兹各自独立创立了微积分

牛顿和莱布尼茨就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。然而，一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论。瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼茨的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼茨又被英国数学家指责为剽窃者。这样就造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方。这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换。

在牛顿和莱布尼茨二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。

“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。

2.严格微积分的奠基者：柯西和魏尔斯特拉斯

2.1 先驱的努力

微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。

多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。

18世纪，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔(d’Alembert,1717-1783)、欧拉和拉格朗日。达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。

微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始见成效。首先是捷克数学家波尔察诺(B. Bolzano,1781-1848)1817年发表的论文《纯粹分析证明》，其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定义、有界实数集的确界存在性定理、序列收敛的条件以及连续函数中值定理的证明等内容。

2.2 柯西对严格微积分的贡献

19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是法国数学家柯(A-L.Cauchy,1789-1857)。从1821年到1829年，柯西相继出版了《分析教程》、《无穷小计算教程》以及《微分计算教程》，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。

然而，柯西的理论只能说是“比较严格”，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。比如柯西定义极限为：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为所有其它值的极限”，其中“无限趋向于”、“可以随意小”等语言只是极限概念的直觉的、定性的描述，缺乏定量的分析，这种语言在其它概念和结论中也多次出现。

应该指出，微积分计算是在实数领域中进行的，但到19世纪中叶，实数仍没有明确的定义，对实数系仍缺乏充分的理解，而在微积分的计算中，数学家们却依靠了假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近。当时，还有一个普遍持有的错误观念就是认为凡是连续函数都是可微的。基于此，柯西时代就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。所有这些问题都摆在当时的数学家们面前。

2.3 威尔斯特拉斯之严格微积分

另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。他定量地给出了极限概念的定义，这就是今天极限论中的“ε-δ”方法。魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。

另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数。因此，分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。

1857年，魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。1872年，戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托尔(B. Cantor,1829-1920)几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

3.结论

牛顿和莱布尼兹两人独自创立了微积分，柯西和威尔斯特拉斯使严格微积分诞生。