Question

初三二次函数题

抛物线y＝ax²＋c﹙a≠0﹚经过C﹙2,0﹚，D﹙0,-1﹚两点，与直线y＝kx交与A，B两点，直线l过点
E﹙0,-2﹚且平行于x轴，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为M，N
（1）求抛物线的解析式
（2）求证AO＝AM
（3）
①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时1/AM＋1/BN的值
②说明无论k取任何实数，1/AM＋1/BN的值都是同一个常数

Answer 1

1）把C﹙2,0﹚，D﹙0,-1﹚代入y＝ax²＋c得：
{0=4a+c
{-1=c
解得：a=1/4,c=-1
y=1/4x²-1

2）令A(a,1/4a²-1) a<0
AM=2+1/4a²-1=1/4a²+1
OA=√[(1/4a²-1)²+a²]=1/4a²+1
∴OA=AM

3）①1/AM＋1/BN=1/2+1/2=1
②令A(a,1/4a²-1)，B(b,1/4b²-1)
(1/4a²-1)/a=(1/4b²-1)/b
(a²-4)b=(b²-4)a
(a-b)(ab+4)=0
∵a≠b
∴ab=-4
AM=1/4a²-1-(-2)=1/4a²+1

BN=1/4b²-1-(-2)=1/4b²+1
1/AM＋1/BN=4/(a²+4)+4/(b²+4)
=(4a²+4b²+32)/(a²b²+4a²+4b²+16)
=(4a²+4b²+32)/(4a²+4b²+32)
=1