Question

电阻率剖面法

Answer 1

4.2.1 中间梯度法

中间梯度法（以下简称中梯法）是电阻率剖面法中一种常用的重要方法。由于中梯法的供电电极距拉开且固定不动，而观测是在其中三分之一地段进行。故该方法观测的视电阻率异常，可用均匀电流场中有导电性不均匀体存在时的异常理论进行研究。

4.2.1.1 球体上的视电阻率异常

自然界中存在的近等轴状地质体（如囊状矿体，地下溶洞等），可近似看为球体。研究球体上的视电阻率异常，不仅有实际地质意义，而且有助于电场空间分布规律的认识。

（1）均匀电流场中球体的一次场

1）无限介质情况。设在均匀各向同性无限导电岩石中，有一半径为r₀的球形矿体；围岩电阻率为ρ₁；球体电阻率为ρ₂；均匀电流场的电流密度为j₀，见图4-12。

有球体存在时，球内、球外电位乃由两部分电位（正常电位和异常电位）叠加而成。为了与后面要讨论的激发极化法的总场电位以及二次场电位相区别，这里将叠加以后的电位称为一次场电位，而将异常部分称为一次场异常电位，并表示为

图4-12 均匀电流场中的导电球体

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式中：U₀ 为均匀电流场（正常场或初始场）的电位；

为球内一次场的异常电位；为球外一次场的异常电位。

如图4-12所示，选取球极坐标系，取原点于球心，使极轴X和均匀电流场j₀方向一致，当取球心电位为零时，容易写出均匀电流场的正常电位解为：

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于是以下的问题便归结为如何取解和，即如何求得一次场的异常电位。由于球内、球外的电位具有球对称性，故位函数与φ无关。于是球内与球外电位应满足球坐标系下的拉普拉斯方程

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并满足以下的极限条件和边界条件：

a.电位U₁在所有各点上都是有限而且连续。

b.在分界面上，由于电位的连续性，有

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c.在分界面上，由于电流密度法线分量的连续性，有

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用分离变量法求解上述边值问题，得

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式中的第二项为球内、球外一次场的异常电位。

2）半无限介质情况。以上讨论的是无限介质（全空间）情况，当供电和测量均在地面进行时，需讨论半无限介质（半空间）的电场分布，特别是讨论球外的电场分布更有实际意义。

图4-13 半空间均匀电流场中的导电球体

地面的影响可用一个镜像球体代替。如球心深度（h₀）相对球体半径（r₀）较大，即球体埋藏比较深时，可忽略球体与地面以上镜像的相互作用。这时采用将球外^）表达式的异常部分加倍的办法可求得地面一次电位（为简单起见，以下用 U ₁ 表示）的一级近似解答：

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这里r为地面观察点M与球心的距离。

若以球心在地面投影点O为原点，Z轴垂直向下，见图（4-13）。地面观察点坐标为M（x，y，0），球心坐标为O（0，0，h₀）。则地面上一次场的电场强度沿X方向的分量为

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由（4.2-5）和（4.2-6）式可见，在中间梯度法中，球外的异常分布与水平电偶极子的电流场是等效的。其等效电偶极矩为：

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（2）球体上的视电阻率异常

根据（4.2-6）和关系式ρ_S=E_1x/j₀，可直接写出球体中间梯度法的视电阻率表达式

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上式中令y=0，可得主剖面上的ρ_S表达式，其相对形式为

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式中相对电阻率μ₂=ρ₂／ρ₁。

1）视电阻率剖面曲线。图4-14为按（4.2-8）式计算，当μ₂=0.1和μ₂=10两种情况的球体主剖面上中梯法ρ_S曲线。球体半径为r₀，埋深h₀=2r₀。

由图可见，当球体为低阻（μ₂=0.1）时，在球心正上方有ρ_S极小值，两侧有ρ_S＞ρ₁的极大值。当球体为高阻（μ₂=10）时，在球心正上方有ρ_S极大值，两侧有ρ_S＜ρ₁的极小值。无论高阻还是低阻球体，其上的视电阻率曲线皆左右对称。因此根据ρ_S曲线主极值点的坐标，可确定球心在地面的投影位置。

图4-14 主剖面上中梯法球体ρ_S曲线

视电阻率的变化特征反映了地下不均匀岩石中的电场分布情况。因此，可以用水平电流偶极子的电场分布规律解释上述低阻或高阻球体的ρ_S异常特征。因为此时地下总电流场乃是正常的均匀电流场与水平

电流偶极子（即球体）电流场的叠加。根据j_MN的变化，可用关系式（4.1-28）定性地说明ρ_S异常特征。

2）利用ρ_S曲线确定球心深度的方法。为了确定球心深度h₀，可利用图4-14所示ρ_S曲线的下述特征参数做半定量解释。

a.用ρ_S曲线与背景（ρ₁）线两交点间距求h₀。

交点处ρ_S/ρ₁=1，故（4.2-8）式第二项为零，解此方程得 x=±h₀/，故 h ₀ 与Δx 有以下关系

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在解释实测曲线时，量出Δx后代入上式便可求得球心深度h₀（见图4-14）。

b.用ρ_S曲线半极值点弦长（q）求 h₀。如图4-14，设 x=±，则该点相对异常ΔρS/ρ₁等于相对异常极值的二分之一，即

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将（4.2-8）式代入上式，经整理得

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求解上式，可得

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c.用ρ_S曲线过拐点的弦切距（m）求h₀。将（4.2-8）式对x求二阶导数，并令其等于零，经整理，得

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解上式，得到ρ_S曲线拐点坐标

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（4.2-8）式对x求一阶导数，并将（4.2-11）式代入，便可求出拐点处ρ_S曲线的斜率

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即得

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4.2.1.2 脉状体的视电阻率异常

图4-15为用边界元法计算的不同产状（α=90°，60°，30°，0°）的高阻脉状体上中梯法相对视电阻率异常曲线。由图可见，由于位于均匀电流场中不同产状的高阻脉状体对电流 j₀ 有不同程度的排斥作用，因而脉状体上均有大于背景值ρ₁ 的高阻异常。直立（α=90°）脉状体对电流 j₀ 的排斥能力最强，其上获得了对称的最大视电阻率异常值（曲线1）；倾斜（α=60°，30°）脉状体则随着倾角α的减小，排斥电流 j₀ 的能力逐渐减弱，致使其上的电阻率异常值变小，且曲线不对称性增大。极大值位于脉状体顶部稍偏离倾斜方向，而在倾斜方向ρ_S/ρ₁变化较缓，且出现明显极小值（曲线2，3）；水平（α=0°）脉状体排斥电流 j₀ 的能力最弱，故所获得的ρ_S/ρ₁ 曲线异常幅值最小，但异常宽度变大（曲线4）。

图4-15 用边界元法计算产状不同高阻脉状体上的曲线

显然，可根据上述视电阻率异常特征定性地判断脉状体的位置和产状。

不难理解，对于均匀电流场中不同产状的低阻脉状体，由于它对电流j₀具有不同程度吸引作用，在其上方将会有小于背景值ρ₁的低阻异常。随着倾角α变小，低阻脉状体吸引电流j₀的能力逐渐增加，异常幅值也变大。

由此可见，用中间梯度法寻找高阻直立脉状体和低阻水平或缓倾斜良导脉状体最有利，而寻找高阻水平脉和直立良导脉状体则不利。

为了对脉状体上的ρ_S异常作半定量解释，仍可用ρ_S曲线的半极值点弦长q和拐点弦切距m。对于直立高阻薄脉而言，求其顶端埋深h时，可利用由模型实验总结出的近似关系式h≈0.5q和h≈0.6m。

4.2.2 联合剖面法和对称四极剖面法

4.2.2.1 垂直接触面上的视电阻率异常

研究垂直接触面上ρ_S曲线的特征，目的在于确定岩石分界面，以进行地质填图。下面将讨论一个垂直接触面的最基本情况。

（1）具有垂直接触面的两种不同岩石中的点电源电场

如图4-16所示，设点源A（I）位于垂直分界面左边岩石的地面上，A与分界面的距离为d。电阻率为ρ₁的岩石中任一点M₁的电位U₁和电阻率为ρ₂的岩石中任一点M₂的电位U₂，可通过“镜像法”来求解

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图4-16 求解垂直接触面两边电场分布的“镜像法”图示

式中：的均匀介质中的电场是等效的。

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当ρ₂从0变到∞时，K₁₂值则由-1变到+1。对ρ₂=0的情况而言，K₁₂=-1，1-K₁₂=2。此时，I₁=K₁₂I=-I，I₂=（1-K₁₂）I=2I，即分界面不向ρ₁岩石反射电流，A电源的电流I全部透射到ρ₂岩石中去。对ρ₂=∞的情况而言，K₁₂=1，1-K₁₂=0。此时I₁=I，I₂=0，即A电源的电流I将全部被分界面反射回ρ₁岩石中，而无电流透射到ρ₂岩石中去。

当观测点M₁和M₂位于地面，且在由A到分界面的垂直线上时，由公式（4.2-13）和（4.2-14）可写出：

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式中：

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这里A为坐标原点，x₁、x₂分别为观测点M₁和M₂的横坐标。

由（4.2-15）和（4.2-16）式进而可写出ρ₁和ρ₂岩石上沿x方向的电场强度表达式

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分析以上两式可见，在无实电源存在的ρ₂ 岩石中的电场与点电源位于电阻率等于（2）垂直接触面上的ρ_S剖面曲线

1）剖面曲线。为了研究三极装置 AMN 过分界面时的变化规律，应先给出视电阻率的具体计算公式。设 MN→0，可写出以下三种不同位置时的表达式。

a.当供电电极A和测量电极中点O′均在ρ₁介质中时，电场是由点源A和虚点源A₁共同产生的，见图4-17（a）。设A为坐标原点，当MN→0时，AM=AN=AO′=x，于是有

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将（4.2-17）作为E的表达式，并代入上式（令x₁=x），得到

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b.当 A 极在ρ₁，而 O′进入ρ₂ 介质时，介质ρ₁ 的影响相当于虚电源 A₂，见图4-17（b），将

（4.2-18）作为 E 的表达式，代入（4.2-19）式，得到

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c.当 A 极和O′点全部进入到ρ₂ 介质时，介质ρ₁ 的影响相当于一个反射的虚电源 A₁，如图4-17（c），其中 K₂₁=-K₁₂=，这时（4.2-17）式应改写成

图4-17 AMN 三极装置过垂直接触面时的三种位置

图4-18 AMN三极装置过垂直接触面时的剖面曲线

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将上式代入（4.2-19），得到

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根据以上三种情况下的计算公式，对于ρ₁＞ρ₂ 之计算结果示于图4-18。

2）曲线。对 MNB 三极装置而言，令 B 为坐标原点，当 MN→0时，用与类似的分析，可得出以下三种情况的表达式。

a.当O′点和B极都在ρ₁介质中时（见图4-19（a）），有

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b.当O′点在ρ₂介质而B极进入ρ₂介质时（见图4-19（b）），有

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这种情况下的视电阻率表达式与AMN装置的（4.2-21）式相同。

c.当O′点和B极全部进入ρ₂介质时（见图4-19（c）），有

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图4-20中给出了按以上各式计算的剖面曲线。

图4-19 MNB 三极装置过垂直接触面时的三种位置图4-21 联合剖面法和对称四极剖面法过垂直接触面时的ρ_S剖面曲线（ρ₁＞ρ₂）

图4-20 MNB三极装置过垂直接触面时的剖面曲线

把和画在一张图上，即可得到联合剖面法（以下简称联剖法）过垂直接触面时的ρS剖面曲线。由图4-21 可见，在所讨论情况下（ρ₁＞ρ₂ ），联剖装置在过接触面时比的跃变要明显得多。因此根据确定分界面位置时要比容易辨认。反之，如果ρ₁＜ρ₂ ，则计算结果如图4-22所示，这时反映接触面的位置要比明显。所以，当联合使用和时，可比较准确地确定电阻率不同的岩层的分界面，从而达到地质填图的目的。

图4-21 联合剖面法和对称四极剖面法过垂直接触面时的ρ_S剖面曲线（ρ₁＞ρ₂）

图4-22 联合剖面法和对称四极剖面法过垂直接触面时的ρ_S剖面曲线（ρ₁＜ρ₂）

（3）剖面曲线

有了上述联合剖面法的和剖面曲线以后，根据）的关系式，取各点和的平均值，即可得到如图4-21和图4-22 中所示的对称四极剖面法（以下简称四极法）的剖面曲线。由曲线的跃变亦可确定接触面的位置，但它不如ρ₁ ＞ρ₂ 时的和ρ1＜ρ₂ 时的跃变明显。

4.2.2.2 球体上的视电阻率异常

（1）导电球体存在时的点电源电场

如图4-23所示，设在均匀各向同性，电阻率为ρ₁ 的无限岩石中，有一半径为 r₀，电阻率为ρ₂ 的球体。在距球心为 d 的位置上有一点电流源A，其电流强度为 I，观测点 M 与A 的距离为R，与球心的距离为 r。为了求解球内、球外电位的解答，我们可以通过解拉普拉斯方程的方法来实现。

图4-23 点源电流场中的导电球体

球内、球外电位由两部分电位（正常电位和异常电位）叠加而成。为了与后面要讨论的激发极化法的总场电位以及二次场电位相区别，这里将叠加以后的电位称为一次场电位，而将异常部分称为一次场异常电位，并表示为

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式中：U₀ 为正常电位，即点源 A 在电阻率为ρ₁ 的均匀无限介质中产生的电位，U₀ =；和分别为球内和球外一次场的异常电位。

取球坐标系并令原点位于球心，由于对称性，电位分布与φ角无关，于是异常电位应满足下列形式的拉普拉斯方程

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电位函数应满足以下极限条件和边界条件：

① 除 A 点以外，函数和处处都是有限、连续的；

② 在离球心无穷远（r→∞）的点上，U₁→0，而在 A 极附近（r→0）的点上，U₁=₄；

③ 在球体与围岩的分界面（r=r₀）上，电位连续，即=；

④ 在球体与围岩的分界面（r=r₀）上，电流密度的法线分量连续，即

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用分离变量法求解上述边值问题，便得到球体内部和外部一次场的电位表达式

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式中：P_n（cosθ）为n阶勒让德多项式。

以上讨论的是无限介质即全空间情况，当在地面上进行电法勘探时，还需给出半空间条件下的电位表达式。为此，仍采用将异常电位加倍的近似方法。此外，由于供电点源A位于地面，电流是以2π的立体角流出，故电位公式前面的应改为。又考虑到观测是在

地面进行的，因而只写出球外一次场的电位表达式就够了。这时有：

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（2）视电阻率表达式

如图4-24所示，设在地下均匀、各向同性、电阻率为ρ₁的半无限岩石中，有一个半径为r₀、电阻率为ρ₂的球体。在距球心为d_A和d_B的位置上有点电流源A和B，其电流均为I。观测点M与A、B的距离分别为R_A和R_B，与球心的距离为r_M。根据（4.2-28）式，可写面电流源A、B在M点的电位公式

图4-24 球体上联剖和对称四极装置的计算简图

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同理，可得点电流源A、B在N点的电位公式

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式中：R′_A和R′_B分别为电流源A、B与N的距离。

当AMN和MNB均沿地表主剖面x方向排列时，根据（4.2-29）～（4.2-32）式，分别写出M 和N 点的电位差ΔU_MN （只取 n=1 项），代入关系式ρ_S=K后，便可得到联合剖面法和的近似计算公式

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式中，K=；μ₂=。

将上式代入（4.1-35），便可得到对称四极剖面法的视电阻率计算公式

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（3）视电阻率剖面曲线

1）低阻球体上的和剖面曲线。图4-25中给出了按（4.2-33）式和（4.2-34）式算得的不同极距（AO）的联合剖面法曲线和对称四极剖面法曲线。对联剖曲线而言，无论哪种极距（AO），其和曲线在球心正上方（或球顶上）均有一个交点（=），并在交点左边有，右边则。交点处的视电阻率值ρS＜ρ₁。通常将这种性质的交点称为“正交点”或“低阻交点”。由图可见，这时的极小值出现在球体右边，而的极小值则出现在球体左边。至于对称四极剖面法的ρ_S 曲线，则在球心正上方有＜ρ₁的极小值异常。

下面根据地下电流分布的规律对上述异常加以解释。对 AMN 装置的曲线而言，当装置位于球体左边并离球体很远时，球体对 A 极供入地下的电流分布状态的影响可忽略不计，相当于均匀介质情况，此时测点处的 j_MN =j₀，故=ρ₁。当装置向右移动时，因低阻球体“吸引”电流，使得位于供电电极右边的 M、N 处之j_MN增大（j_MN ＞ j₀ ），故开始上升（＞ρ₁ ），并在某一位置取得极大值。随着 A、M、N 继续向右移动，球体对 A 极流出电流的“吸引”作用变为倾斜向下，这样 M、N 处的电流密度又逐渐减小，致使 j_MN ＜ j₀，于是＜ρ₁。j_MN的不断减小一直继续到M、N 极越过球顶以后，并在某一位置（此位置与极距 AO 大小，球体埋深以及球体半径大小有关）上达到最小，即 j_MN≪j₀，这里将有极小值。

以后，随着装置的右移，球体对A极电流的“吸引”作用开始减弱，于是j_MN有所增大（仍小于 j₀）开始向ρ₁ 靠近，直到装置离开球体很远（实际上，大于两倍 AO 的距离）时，因j_MN≈j₀，所以趋于围岩电阻率ρ₁。

图4-25 低阻球体上联剖法和对称四极剖面法的ρ_S曲线

同样，也可用地下电流分布规律对曲线作定性解释，不再重复。

ρS异常形态特征与极矩的关系如图4-25所示，当电极距较小（AO=2 r₀）时，低阻球上的和曲线形成“∞”型异常，球顶上有正交点。当极距加大到球心埋藏深度的 2～3 倍（如 AO=4 r₀）时，和除在交点两侧有两个主极小点外，在距交点较远的两边还相应地出现两个次极小点，它们分别是供电电极 A 和B 位于球顶正上方时对应的ρ_S 值。因此，次极小点与球顶上方ρ_S交点间的距离大约等于 AO 或OB 的长度。对比图4-25中的和曲线还可看出，随着极距加大，主极值处ρ_S曲线的分异性变差，两个主极小点之间的距离也变小。

随着供电极距进一步增大（如AO=8r₀）。次极小点处的异常变小，距交点更远。同时，交点附近ρ_S曲线的分异性更差和曲线的主极值已趋于重合，两条曲线几乎变成一条曲线。

图4-25同时绘出了对称四极剖面法的曲线。如图所示，随着极距增加，的异常由宽变窄、由缓变陡。

2）高阻球体上的和剖面曲线。如图4-26所示，在高阻球体上的联剖和对称四极剖面法ρ_S曲线与低阻球体情况不同，ρ_S曲线的剖面特征是在球顶上和曲线有大于ρ₁ 的“反交点”，即此时在球体左边为，而在球体右边则为。曲线在球顶上有的极大值。

图4-26 高阻球体上联剖和对称四极剖面法ρ_S曲线

由图可见，随着极距（AO 或）的增加，ρ_S曲线出现次极大点，并向远离球体的方向外移，而联剖主极大点的间距却减小，异常范围变窄，和二条曲线的分异性变差，最后趋于重合。

由图还可看出，随着极距的增加，联剖和对称四极剖面的ρ_S异常也变大，最后趋于饱和值。

综上所述，根据联剖和两条曲线的交点坐标可确定球体中心在地面的投影位置，并由交点的性质，可指明球体相对围岩电阻率的高低。“正交点”说明球体为低阻，“反交点”则说明球体为高阻。对于对称四极法曲线而言，根据其极小值点或极大值点的坐标，可确定球心在地面投影位置，并能指出球体是低阻或高阻。对比联剖和对称四极剖面法在球体上的ρ_S异常可以看出，不论高阻球还是低阻球，其异常变化幅度除极距很大情况外，一般是联剖异常总比对称四极剖面法的异常大些。

最后应当指出，测量极距MN的大小对ρ_S异常是有影响的，一般是随着MN的增大异常减小，曲线变平滑。计算结果表明，MN＜2r₀时与MN→0的情况相差不多，当MN≥2r₀时，则异常明显减弱。

4.2.2.3 脉状矿体上视电阻率异常

（1）低阻脉状矿体上的和剖面曲线

设在均匀各向同性、电阻率为ρ₁ 的半无限岩石中，有一电阻率为ρ₂ 的低阻脉状体。图

4-27（a）给出了直立低阻脉状矿体上联剖和对称四极的视电阻率ρ_S 剖面曲线。由图可见，在直立低阻脉状体上，联合剖面法的和曲线对称于脉体，并构成“∞”字形。在低阻脉体的正上方有一低阻“正交点”，该交点的视电阻率值ρ_S ＜ρ₁。对称四极法的视电阻率曲线在低阻脉体上有一＜ρ1 的极大值，而两侧呈现对称于脉体的极小值。由于为与的平均值，故其异常幅值明显小于联剖的视电阻率异常幅值。

由图还可见，当供电电极A（或B）与测量电极MN横跨直立低阻脉体两侧时，由于低阻脉体对供电电流有较大的“屏蔽作用”，所以联剖的视电阻率剖面曲线出现明显的低阻异常。可见，联合剖面法反映良导矿体的能力较强，被认为是寻找陡立良导脉状矿体或追索直立低阻破碎带的最有效的方法之一。

当脉状矿体倾斜时，如图4-27（b）、（c）所示，联剖法和对称四极法的ρ_S视电阻率剖面曲线均呈现不对称状。并且倾角越小，其不对称性越明显。

图4-27 产状不同的低阻脉状上联剖ρ_S曲线

当脉状体向右倾斜时，联合剖面的较曲线变化幅度大，这是因为电极排列AMN 之M、N 在倾斜一侧，而 A 位于反倾斜方向一侧时，矿体吸引电流的作用最强，以致使测量电极 M、N 处的电流密度j_MN≪j₀，并取得极小值。如果脉状矿体向左倾斜，则曲线的变化幅度将较曲线大。另外，倾斜脉状体上方的联剖曲线的正交点将随倾角α变小，逐渐远离脉顶，向倾斜方向位移。在实测中主要利用上述ρ_S曲线的不对称性来判断矿体倾斜方向。

显然，利用对称四极曲线的不对称性，也可判断矿体的倾斜方向，但其反映能力不如联剖，特别是小极距情况下反映倾斜的能力很差。

（2）高阻脉状矿体上的和剖面曲线

设在均匀各向同性、电阻率为ρ₁ 的半无限岩石有一电阻率为ρ₂ 的高阻体。图4-28（a）给出了直立高阻脉状体上联剖和对称四极的视电阻率ρ_S剖面曲线。由图可见，在直立高阻脉状体上，联剖的和曲线对称于脉体，也构成“∞”字形。但在高阻脉体的正上方有一高阻“反交点”，该交点的视电阻率值ρ_S＞ρ₁。对称四极法的视电阻率曲线在高阻脉体上也是对称的，并有一＞ρ₁ 的极大值。

图4-28 产状不同的低阻脉状上方的联剖ρ_S曲线

当脉状矿体倾斜时，如图4-28（b）、（c）所示，联剖法和对称四极法的视电阻率剖面曲线均不对称，并且倾角越小，不对称性越明显。当脉状体向右倾斜时，联剖的较的曲线变化幅度大。其原因在于，当电极排列 MNB 之B 极在倾斜一侧，而 M、N 极在反倾斜一侧时，矿体对电流的排斥作用最强，使得测量电极处的电流密度 j_MN≫j₀，并取得的极大值。如果脉体向左倾斜，则曲线的变化幅度必将大于曲线。曲线的上述不对称性将随着脉体倾角α变小而增大。显然，根据曲线的不对称性，也可指明矿体的倾斜方向。

对比图4-27和图4-28可知，不论高阻矿脉的产状如何，联剖和曲线的分异性、异常幅值均不如低阻矿脉体上的和曲线，其反映矿体的能力较差。因此，在寻找高阻脉体时，一般不用联合剖面法。