Question

对于c＞0，当非零实数a，b满足4a²-2ab＋b²-c＝0且使 |2a+b |最大时，1/a+2/b+4/c的最小值为 ？

这题用基础不等式可以得到4c≥（2a＋b）²，但是c并不是定值，如何得到取等条件？（均值不等式不是必须出现定值吗，但是c并不是定值啊）

Answer 1

第四行的过程是为了凑出｜2a+b｜
所以自己添加的2²+(6/√15)²
柯西不等式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
这样和15/16相乘就会出现｜2a+b｜
这是一种解题技巧，你多多练习就能掌握

Answer 2

|2a+b |最大,相当于（2a+b）^2最大，根据基本不等式的变形公式
（2a+b）²<=2(4a²+b²) 当且仅当2a=b时等号成立，
此时由已知 c=4a²-2ab＋b²=b²
1/a+2/b+4/c=1/a+2/b+4/b²>=3*3次根号下（8/ab^3）
当且仅当1/a=2/b=4/b²时等号成立，此时满足2a=b=2, 故所求最小值为3

与c定不定值无关