Question

设f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2ax,若f(x)在（2/3，正无穷）上存在单调递增区间，求a的取值范围

Answer 1

对f（x）求导，有'

f(x)在（2/3，+∞）存在单调递增区间，说明其导数在（2/3，+∞）至少有一处大于零。其对称轴为x=1/2，故函数在（1/2，+∞）内递减，那么函数在（2/3，+∞）递减，为此，只需要保证其导数在2/3处大于零即可。此时，

Answer 2

解：
函数f(x)=(1/3)x�0�6+(1/2)x�0�5+2ax.
求导，f'(x)=x�0�5+x+2a.
由题设可知：
关于x的不等式x�0�5+x+2a≥0.
其解集M与区间(2/3, +∞)的交集非空。
或者说，不等式2a≥-(x�0�5+x)
必有解在区间(2/3, +∞)内。
∴问题可化为，求函数g(x)=-x�0�5-x在(2/3, +∞)上的最大值（或上确界）。
显然，在(2/3, +∞)上，恒有：g(x)＜g(2/3)=-10/9.
∴应有：2a≥-10/9
∴a≥-5/9