Question

已知定义在R上的偶函数f(x)=丨x-a丨+丨x-b丨(a,b∈R)的最小值为2,则f(a)+f(b)-f(0）=？

四个答案：0. 1. 2. 3
选哪个

Answer 1

解

又绝对值的几何意义可知
当x在ab之间时，不妨设a>b
f（x）=|x-a|+|x-b|有最小值即为ab两点间距离
则有|a-b|=2
又因为f（x）在R上为偶函数

所以f（x）=|x-a|+|x-b|
f（-x）=|-x-a|+|-x-b|=|x+a|+|x+b|
即有|x+a|+|x+b|=|x-a|+|x-b|
则有两种可能，
①|x+a|=|x-a|，|x+b|=|x-b|，得到a=b=0
②|x+a|=|x-b|，|x+b|=|x-a|，得到a+b=0
那么无论如何都有a+b=0，即b=-a成立
结合|a-b|=2，就能得到a=1，b=-1

因此f（x）=|x-1|+|x+1|
f（a）+f（b）-f（0）
=f（1）+f（-1）-f（0）
=2+2-2=2，即为所求

Answer 2

供参考。

Answer 3

对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2 设a=x1，b=x2-x1，代入f(a+b)=f(a)+f(b)，得到 f(x2)=f(x1)+f(x2-x1) ∵x2-x1＞0 ∴f(x2-x1)＞0 ∴f(x2)＞f(x1) ∴f(x)在R上单调递增。

追问

不好意思 不是求单调性。选择题给四个答案。0 1 2 3。选哪个？要过程 ，谢谢