Question

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0,1)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0,1),Y的概率密度为fy(y)=1(0<=Y<1),其他0，记Z=X+Y
求Z的概率密度fZ(z)
P{X+Y<=Z}=P{X+Y<=Z,X=-1}+P{X+Y<=Z,X=0}+P{X+Y<=Z,X=1}
=P{X=-1}P{X+Y<=Z|X=-1}+P{X=0}P{X+Y<=Z|X=0}+P{X=1}P{X+Y<=Z|X=1}
=1/3P{Y-1<=Z}+1/3P{Y<=Z}+1/3P{Y+1<=Z}
=(1/3)*(P{Y<=z+1}+P{Y<=z}+P{Y<=z-1})
=1/3
也就是说(P{Y<=z+1}+P{Y<=z}+P{Y<=z-1})=1？是完备事件组？怎么理解呢？

Answer 1

这个简单，x是离散型，Y是连续型，求Z=x+y（离散型加连续型），可以看成是求条件概率（分别在x=1,2，3条件下y的概率）或者就按完全是建筑，理解（考察全概率公式）把他们分成俩步骤完成。