Question

已知抛物线C：x^2=2py(y>0)上一点A(M,4)到其焦点的距离为17/4，

1.求P和M的值2设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0)，过P的直线交抛物线于Q，交X轴于M，过点Q作PQ的垂线交抛物线于另一点N，若MN是抛物线的切线，求t的最小值

Answer 1

1) x^2=2py ，F（P/2 ，0）， 准线y=-p/2 点A(M,4) 的准线之距4+P/2=17/4，即 P=1 /2 ，A(M,4) ,代入抛物线C：x^2=y ,得 m= ±22) 设P (t, t^2), PQ: y=K(X-t)+ t^2 与抛物线X^2=y 联立得交点Q ( K-t ,(K-t)^2 ), M[(Kt-t^2)/K, 0]故过点Q作PQ的垂线 : y= -1/K (X-K+t) + (K-t)^2 与 抛物线 x^2=y 联立得X^2+(1/K) X+t/K -1 -(K-t)^2 =0 , 求出点 N , 从而得直线 MN直线 MN与抛物线X^2=y 联立 ,因相切 ,故 △=0 ,从而得 K, t 的关系 ,最后得t的最小值