Question

设椭圆的中心是坐标原点 长轴在x轴上 e=√3/2 ，p（0,3/2）到这个椭圆的点的最远距离为√7，求椭圆方程

由e=c/a=√3/2得,c²=3a²/4
所以b²=a²-c²=a²/4
因此可设椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1,即x²+4y²=4b²
设椭圆上一点(x,y)到P的距离为d
则d²=x²+(y-3/2)²=4b²-4y²+y²-3y+9/4=-3(y+1/2)²+4b²+3, y∈[-b,b]
①若P在椭圆内,即b≥3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1(舍去)
②若1/2≤b<3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1
③若0<b<1/2.则d²(max)=-3(-b+1/2)²+4b²+3=7,解得:b=√7-3/2>1/2(舍去)
综上,b=1.所以椭圆方程为x²/4+y²=1
与P距离为√7的点的坐标为(±√3,-1/2)

这个答案为什么要讨论b和1/2的关系啊？

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

d^2关系式为二次函数，图象开口向下，对称轴为y=-1/2，因此要讨论对称轴是否在区间［-b，b］，看d^2能否在-1/2处取得最大值，即-b<-1/2<b b>1/2（是大于等于号和小于等于号） 手机打写，望采纳