Question

函数的极限值（趋向于常数X→X0）是如何确定的？

有些地方感觉可以带入x的最大值（x→-常数）和x的最小值x→常数，有时候又不可以，而且还是同一道大题里出现这种情况。求教下如何正确取极限值（课本）

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Answer 1

首先你对极限的理解错误，当x→x0的极限是指，x≠x0的时候，趋近于x0的过程中，函数值无限趋近的数。
所以分母x-x0只是无限趋近于0，但是不会等于0（因为x≠x0），所以分母是有意义的。
所谓0/0，只是指某些极限式子的类型，并不是真的让分母为0
注意极限的定义中，是在x0的去心邻域内研究的，去心邻域就是去掉了x0这个点的邻域。所以x-x0不会等于0

追问

(⊙o⊙)…那例如第二张图第一个取极限是如何取的2呢？

Answer 2

用自然语言来说，“x→x0时极限为0”就是“求极限的对象就充分接近0需要且只要x充分接近x0”。如果再严格一些，所谓充分接近就是小于给定的某个正数，而且对于求极限的对象“充分接近”要求的正数一旦给定，对于x“充分接近”要求的正数必须相应给出