Question

一道高数题求助，求解第11题

Answer 1

还需要么？

Answer 2

设直线L：x+y+b=0......①; x+ay-z-3=0.......②在平面π上，而平面π与曲面z=x²+y²相切于点
(1，-2，5)；求a，b的值；
解：隐式曲面方程F(x，y，z)=x²+y²-z=0；
∂F/∂x=2x∣(x=1)=2； ∂F/∂y=2y∣(y=-2)=-4； ∂F/∂z=-1；
故切平面π的法向矢量N={2，-4，-1};
∴过点(1，-2，5)的切平面π的方程为：2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=2x-4y-z-5=0..........③
直线L是平面①和②的交线；平面①的法向矢量N₁={1，1，0}；
平面②的法向矢量N₂={1，a，-1}；故直线L的方向矢量N₃=N₁×N₂={-1，1，a-1}；
直线L在平面π上，因此N₃⊥N；故N₃•N=-1×2+1×(-4)+(a-1)×(-1)=-2-4-a+1=-a-5=0,
∴ a=-5；将a值代入②式得 x-5y-z-3=0...........④；令y=0，代入①式得 x=-b；再将x=-b，
y=0代入④式得 -b-z-3=0，故z=-b-3；即(-b，0，-b-3)是直线L上的一个点; 将a=-5代入
矢量N的表达式得 N₃={-1，1，-6}；那么直线L的方程为：(x+b)/(-1)=y/1=(z+b+3)/(-6)=t;
L的参数方程为：x=-t-b， y=t， z=-6t-b-3；L在平面π上，因此L的方程满足③式；
将L的参数方程代入③式得：2(-t-b)-4t-(-6t-b-3)-5=-b-2=0，∴b=-2；
结论：a=-5，b=-2；