Question

高中数学题

Answer 1

题目
椭圆M: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为
2v2，且经过点P(1,2v2),直线l1:y=k1x+m1
与椭圆M交于A,C两点，直线l2:y=k2x+m2与
椭圆m交于B,D两点，四边形ABCD是平行四
边形，求椭圆M的方程
解析
依题意有[{lca=2v21 a2+12b2=1,又因
为1[|l||ca=2v21a2+12b2=1故椭圆方程为
[IIca=2v21a2+12b2=1
解答
x22+y2=1

Answer 2

(1)由已知椭圆的右焦点F是(c，0)
∵直线l过焦点F
∴c+0-2=0，则c=2
∵椭圆M的离心率e=c/a=√6/3
∴2/a=√6/3，则a=√6
∴b²=a²-c²=(√6)² - 2²=2
则椭圆M的方程是x²/6 + y²/2=1
(2)∵直线l的斜率是-1，直线y=x的斜率是1
∴-1•1=-1，则直线l与直线y=x垂直
即：AC⊥BD
椭圆方程两边同乘6：x² + 3y²=6
将椭圆M与直线l联立：x² + 3(2-x)²=6
整理得：2x² - 6x + 3=0
根据韦达定理：x1 + x2=3，x1x2=3/2
∴根据弦长公式：|AC|=√1+k²•|x1-x2|
=√1+(-1)²•√[(x1 + x2)² - 4x1x2]
=√2•√[3² - 4•(3/2)]
=√2•√3=√6
同理：将椭圆M与直线y=x联立：x² + 3x²=6
4x² - 6=0，则x1 + x2=0，x1x2=-3/2
根据弦长公式：|BD|=√1+1²•√0² - 4•(-3/2)
=√2•√6=2√3
∴S四=(1/2)•|AC|•|BD|=3√2