Question

设函数f(x)=e^x-x

1,求函数f(x)的单调区间
2,证明当x属于R时,e^x大于等于x+1

Answer 1

f'(x)=e^x-1
令f'(x)>0，则e^x-1>0，解得x>0
当x>0时，f(x)是增函数
当x<0时，f(x)是减函数

构造g(x)=e^x-x-1
g'(x)=e^x-1
令g'(x)=0,则e^x-1=0,解得x=0
x=0时，g(x)取最小值，g(0)=e^0-0-1=0
所以g(x)>=g(0)=1
即e^x>=x+1对x属于R恒成立

Answer 2

1.对f(x)进行求导得：f'(x)=e^x-1=0, 则x=0，
当x>=0时，单调递增，x<=0时单调递减。故其单调区间为：
（-∞，0】，【0，+∞）
2.设g（x）=e^x-（x+1）
求导得，g'(x)=e^x-1=0,解得x=0，
由于当x>=0时，单调递增，x<=0时单调递减，故g（x）在x=0处取得最小值g（0）=0，所以g（x）>=g(0)=0;
即e^x>=（x+1）