Question

（线性代数题）证明向量组A:a1,a2,...an 与向量组B：b1,b2,.....bn等阶

Answer 1

结论：如果两个向量组可以互相线性表示，则这两个向量组等价（不是等阶）。
由已知，B可由A线性表示；
同时，b1+b2+...+bn=(n-1)(a1+a2+...+an)，
因此，a1+a2+.....+an=(b1+b2+....+bn)/(n-1)，
将
b1、b2、......、bn
的表达式分别代入可得
a1+b1=a2+b2=......=an+bn=(b1+b2+....+bn)/(n-1)，
即
a1=(b1+b2+....+bn)/(n-1)-b1，a2=(b1+b2+.....+bn)/(n-1)-b2，。。。。，an=(b1+b2+....+bn)/(n-1)-bn。
上式说明，A能由B线性表示。
所以
A、B
等价。

Answer 2

由题得bn=1-an
(1)
b(n
1)=bn/[(1-an)(1
an)]=1/(1
an)
（2）
由（1）得b(n
1)=1-a(n
1)
代入（2）中将b(n
1)换去
得1-a(n
1)=1/(1
an)
整理得：an-a(n
1)-ana(n
1)=0
同除ana(n
1)得1/（a(n
1)-1/an-1=0
(3)
令1/an=tn,t1=4
则t(n
1)=tn
1(这是等差数列，d=1)
∴tn=4
(n-1)d=n
3
∴an=1/tn=1/(n
3)
bn=1-an=(n
2)/(n
3)
b1=3/4,b2=4/5,b3=5/6,b4=6/7
(2)cn=1/[(bn)-1]=-(n
3)
(3)sn=1/4.1/5
1/5.1/6
........1/(n
3),1/(n
4)
1/4.1/5=1/4-1/5,
1/5.1/6=1/5-1/6
.....................
1/(n
3).1(n
4)=1/(n
3)-1/(n
4)
∴sn=1/4-1/5
1/5-1/6.......-1/(n
3)
1/(n
3)-1/(n
4)
sn=1/4-1/(n
4)
∴s16=1/4-1/20=1/5
(不懂的就问，望采纳！！）

Answer 3

知识点:
向量组a1,...,as
可由向量组b1,...,bt
线性表示的充分必要条件是存在矩阵K满足
(a1,...,as
)=(b1,...,bt
)K.
证明:
因为
(b1,b2,.....bn)=(a1,a2,...an)K
其中
K
=
0
1
1
...
1
1
0
1
...
1
1
1
0
...
1
...
...
1
1
1
...
0
即B组可由A组线性表示
由于
|K|
=
(n-1)
(-1)^(n-1)
≠
0
所以
K
可逆.
所以
(b1,b2,.....bn)
K^-1
=(a1,a2,...an)
所以
A组可由B组线性表示.
所以
两个向量组等价.