Question

如下图,已知过点D(-2,0)的直线l与椭圆x^\2+y^2=1交于不同的两点A,B,M是AB的中点

（上为题干）
（1）若向量OP=向量AB+向量OB，求点P的轨迹方程；
（2）求向量MD的模长\向量MA的取值范围。

P.S:要有详细解题过程！

Answer 1

晕，楼主，你有些地方打的实在是。。。算了，我觉得我应该能判断对你实际的意思，比如说，椭圆方程应该是：x^/2 + y^ =1吧，而且第一问，应该是：
向量OP=向量“OA”+向量“OB”吧？要是AB的话压根没法求。。。还有，第2问是求“向量MD的模长与向量MA"的模长"的比的取值范围”吧？

由于步骤较多，有些代入计算的步骤我就大致说过去了，不再详述，见谅！

1.设A(x1,y1),B(x2,y2),而原点O(0,0)，∴向量OA={x1,y1}，向量OB={x2,y2}
∴向量OP=向量OA+向量OB={x1+x2,y1+y2}，故P点坐标为（x1+x2,y1+y2）
①

过D(-2,0)的直线AB，可设其斜率为k，则可将AB的方程表示成：y=k(x+2)
联立椭圆x^/2 +y^=1与直线AB的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程为：
(2k^+1)x^+8k^x+(8k^-2)=0
由于椭圆与AB相交于不同的两点A，B，故此方程的△>0，且A，B两点横坐标x1,x2分别为此方程的两个不等式实根，且有：
x1+x2=-8k^/(2k^+1)
②
x1*x2=(8k^-2)/(2k^+1) ③
而△=(8k^)^-4*(2k^+1)*(8k^-2)>0
<=> |k|<√2/2
④

A(x1,y1),B(x2,y2)都在AB：y=k(x+2)上，可以用x1，x2分别表示y1，y2：
y1=k(x1+2),y2=k(x2+2)
<=>y1+y2=k(x1+x2)+4k
将②代入：
y1+y2=4k/(2k^+1)
⑤

设P点坐标为(x,y)，根据①,②,⑤式，可得：
x=x1+x2=-8k^/(2k^+1) ⑥
y=y1+y2=4k/(2k^+1)
⑦
只要求出关于x，y之间的关系式，就可得到P点的轨迹方程！

⑥比上⑦式，化简可得：
k=-x/2y

⑧
将其带回到式⑦，化简可得到只含有x，y的关系式：
y=-4xy/(x^+2y^)
显然，P点的纵坐标y不可能恒为0，故两边同时约去y，最终化简可得：
(x+2)^/4 + y^/2 =1
⑨
注意：此椭圆方程仅为P轨迹的一部分，原因见下：

由⑧代入式④：
|x/2y|<√2/2
观察刚得出的椭圆⑨，可发现，其是一个中心为(-2,0)，关于x=-2,y=0两条直线对称，长轴长为4，短轴长为2√2，与x轴交于(-4,0),(0,0)，与x=-2交于(0,√2/2),(0,√2/2)的椭圆，是由中心为原点的基本椭圆左移两个单位形成的，很容易判断，其上任一点的横坐标x≤0，故|x|=-x，上述不等式继续变形：
-x/|y|<√2
<=>|y|>-√2x/2
<=>y>-√2x/2或y<√2x/2
（x≤0）
此为椭圆⑨中，实际能够取到的真正部分！
联立y=-√2x/2与椭圆⑨，可得到x=-2；联立y=√2x/2与椭圆⑨，同样可得到x=-2
结合图像，可以得出P点的真正轨迹为：
椭圆(x+2)^/4 + y^/2 =1 在 -2<x≤0的部分！

（我想贴个图上来，能够更明确，但是估计很难显示，请楼主见谅，自己画图表示一下，此椭圆的形状我已描述，满足题意的部分分别是位于直线y=-√2x/2 (x≤0)上方的部分，以及位于直线y=√2x/2 (x≤0)下方的部分，(两部分都不包括直线与椭圆的交点！) 这两部分显然关于x轴对称，相对应的代数形式就是刚刚描述过的椭圆在(-2,0]上的部分！）

2.向量MD，向量MA的模长，很明显就是线段|MD|,|MA|的长度 （这是模长的定义！），于是所求可转化为：求t=|MD|/|MA|的取值范围，楼主画出图像，很明显可以看出，由于M为AB中点，M,D,A三点均在直线AB上，故，|MD|与|MA|之比等于其在x轴上的投影之比，即：
t=|MD|/|MA|=|xD-xM|/|xA-xM|
⑩
由A(x1,y1),B(x2,y2)，可表示其中点M的横坐标xM=(x1+x2)/2
而xD=-2,xA=x1
将以上几个表达式代入⑩，化简可得：
t=|x1+x2 +4|/|x1-x2|
只要求出t^的取值范围即可：
t^=(x1+x2 +4)^/(x1-x2)^=(x1+x2 +4)^/[(x1+x2)^-4x1*x2]
将②，③两式代入上式，并化简，最后可得：
t^=2/(1-2k^)
根据④式，k的取值范围是0≤|k|<√2/2
<=>t^=2/(1-2k^) ∈(0,2]
<=>t∈(0,√2]
即原式所要求的向量MD与向量MA的模长之比，取值范围是(0,√2]