Question

齐次线性方程组和非齐次线性方程组怎么判断有唯一解，无解，无穷多解，其系数行列式与解的关系。谢谢

Answer 1

无穷解的条件分别是Ax=0无非零解时，则A为满秩矩阵。

则Ax=b一定有解。

Ax=0有无穷多解时，则A一定不为满秩矩阵。

Ax=b的解得情况有无解和无穷多解。

无解：R(A)≠R(A|b)。

无穷解：R(A)等于R(A|b)。且不为满秩。

Ax=b无解时，可知Ax=0一定有无穷多解。

Ax=b 有唯一解时，可知A为满秩矩阵，则Ax=0只有零解。

齐次线性方程组，要么零解（R(A)=n），要么无穷解（R(A)<n)。

重要定理

1、每一个线性空间都有一个基。

2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

6、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

7、解线性方程组的克拉默法则。

8、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

Answer 2

r(A)=n时，齐次线性方程组只有零解，r(A)<n时，有无穷解。
r(A|b)不等于r(A)时，非齐次线性无解，r(A|b)=r(A)<n时，无穷解，等于n时，唯一解。
补充：当A为n阶方阵且可逆时，非齐次线性方程组的唯一解可由克拉默法则解得：x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|为用b代替|A|中第j列所得到的行列式。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

扩展资料：
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
参考资料来源：百度百科——非齐次线性方程组
参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

Answer 3

你说的这两个结论都只能在系数矩阵为方阵的条件下成立（否则行列式没定义）。设a是n阶方阵。第一，线性方程组ax=b有唯一解的条件是r(a,b)=r(a)=n，所以|a|≠0。第二，线性方程组ax=0有唯一解的条件是r(a)=n，所以|a|≠0。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！