Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x＋2）=-f（x）。若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=1/2x，

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x＋2）=-f（x）。若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=1/2x，求使f（x）=-1/2在〔0，2012〕上的所有x的个数

Answer 1

解： ∵f（x＋2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x） T=4
因为f（x）为奇函数
∴有f（-x）=-f（x）=f（x+2） 代换t=x-1 有f（1-x）=f（1+x） 对称轴为x=1
∵当0≤x≤1时，f（x）=1/2x， f（x）为奇函数 对称轴为x=1
∴当x∈【-1,1】时，f（x）=1/2x x∈【1,3】时，f（x）=-1/2x+1 又为T=4的周期函数
画图可知：使f（x）=-1/2在〔0，2012〕上的所有x的个数共有 2012/4=503个解。

Answer 2

解：由题可知，f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故，f（x）为周期4的周期性函数。又f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x）
，其中当0≤x≤1时，f（x）=1/2x，在[0,1]函数单调递减，可知在[-1,0)同样单调递减，因此f（x）=-1/2在[-1,1]
区间仅有x=-1时取得。又f（x＋2）=-f（x），在区间(1,3]单调递增，仅在x=3时有f（x）=1/2x。因此在[-1,3]这个
周期，函数仅在两个端点取得使f（x）=-1/2，（-1,3]仅取一个，而在（0，,2012）中，2012/4=503个周期，（0,4]取3，依次类推，共503个，故，能取到的x个数为503个 （注：题中的f（0）不存在）

Answer 3

我不会！！！！！！！！！！！！

追问

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