Question

已知abc是互不相等的非零实数，求证ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根

Answer 1

假设：
方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中没有一个有实数根
即：
（2b）²-4ac＜0……①
（2c）²-4ab＜0……②
（2a）²-4cb＜0……③
同时成立
反正法证明：
由①+②+③得
（2b）²-4ac+（2c）²-4ab+（2a）²-4cb＜0……⑤
配方得：
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²＜0……⑥
很明显⑥不可能成立，那么“方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中没有一个有实数根”不成立，那么它的反面成立。即
a,b,c均为实数，时方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根。