Question

一个三位数,三个数位上的数的和是11,百位上的数字比十位上的数字少1，个位上的数字是十位上的数字的3倍还

Answer 1

设这个数为y=x1x2……xn(上面有一划)
则y=10^(n-1)x1+10^(n-2)x2+……+xn
若n为偶数
y=(10^(n-1)+1)x1+(10^(n-3)+1)x3+……+(10+1)x(n-1)-(x1+x3+……+x(n-1))
+(10^(n-2)-1)x2+(10^(n-4)-1)x4+……+(10^2-1)x(n-2)+(x2+x4+……+xn)
下面有条定理
若k为偶数，则x+1整除x^(2k+1)+1，x+1整除x^(2k)-1
【简单证明一下：
x^(2k+1)+1=(x+1)(x^(2k)-x^(2k-1)+x^(2k-2)-……-x+1)
(这个乘开来算一下，易知是对的)
设x^(2k)-1=(x^p+1)(x^q-1)
若p是奇数，则证毕(刚证过x+1整除x^p+1)
若p是偶数，因为pq=2k，所以q是偶数，再讲x^q-1因式分解，
经过有限步必能找到因子x^(qn)+1(qn是奇数)，则证毕】
现在取x=10，那么11整除(10^(n-1)+1)x1，(10^(n-3)+1)x3，……，(10+1)x(n-1)
11也整除(10^(n-2)-1)x2，(10^(n-4)-1)x4，……，(10^2-1)x(n-2)
则只要11整除-(x1+x3+……+x(n-1))+(x2+x4+……+xn)，y就能被11整除
即奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数就能被11整除
若n为奇数，道理也是一样的