Question

已知sn为数列an的前n项和，若a1＝2且s(n＋1）＝2sn 1.求an通项公式 2.设bn

Answer 1

1.s(n+1)=2sn+n+1（1）
sn=2s(n-1)+(n-1)+1=2s(n-1)+n（2）
（1）-（2）得：a(n+1)=s(n+1)-sn=2an+1
左右两边同时加上1,a(n+1)+1=2(an+1)
新的数列{an+1}是以a1+1=a+1为首项，2为公比的等比数列
an+1=（a+1）*2^(n-1)
an=（a+1）*2^(n-1)-1
2,若a=1,an=（a+1）*2^(n-1)-1=2^n-1
bn=n/[a(n+1)-an]=n/2^n,
故tn=1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+``````+n/(2^n)············①
1/2tn=1/(2^2)+2/(2^3)+``````+n/[2^(n+1)]············②，
①-②得:1/2tn=1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+``````+1/(2^n)-n/[2^(n+1)]·
=[1-(1/2)^n]-n/[2^(n+1)]
tn=2-(1/2)^(n-1)-n/2^n<2
m的最小值是2

Answer 2

（1）由题意，得2S2=S1+λ，求得λ=4．
所以，2Sn+1=Sn+4①
当n≥2时，2Sn=Sn-1+4②
①-②，得an+1＝
1
2
an（n≥2），又a2＝
1
2
a1，
所以数列{an}是首项为2，公比为
1
2
的等比数列．
所以{an}的通项公式为an＝(
1
2
)n?2（n∈N*）．
（2）由（1），得Sn＝4(1?
1
2n
)，
由
Sn?m
Sn+1?m
＝
1
am+1
，得1+
an+1
Sn?m
＝1+am，化简得
2
(4?m)2n?4
＝
4
2m
，
即（4-m）2n-4=2m-1，即（4-m）2n=4+2m-1．（*）
因为2m-1+4＞0，所以（4-m）?2n＞0，所以m＜4，
因为m∈N*，所以m=1或2或3．
当m=1时，由（*）得3×2n=5，所以无正整数解；
当m=2时，由（*）得2×2n=6，所以无正整数解；
当m=3时，由（*）得2n=8，所以n=3．
综上可知，存在符合条件的正整数m=n=3．