Question

已知函数f(x)=alnx+1/2x^2-(1+a)x(a属于R)(1)求函数f(x)在(0,1]上的最大值g(a).

Answer 1

f'(x)=a/x+x-(1+a)
=[x^2-(1+a)x+a]/x
=(x-1)(x-a)/x
当a≤0时，x-a>0,x-1≤0
∴f'(x)≤0恒成立
∴f(x)在(0,1]上是减函数
因为在x=0处为开区间
∴f(x)在(0,1]最大值不存在

当0<a<1时，
0<x<a,f'(x)>0,f(x)递增
a<x≤1,f'(x)≤0,f(x)递减
∴g(a)=f(x)max=f(a)=alna+1/2a^2-(1+a)a
=alna-a-1/2a^2
当a≥1时，f(x)在（0，1]上为增函数
g(a)=f(x)max=f(1)=-1/2-a

Answer 2