Question

a^2a*b^2b*c^2c>=a^b+c+b^c+a+c^a+c

Answer 1

已知a>b>c>o,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)>a^(b+c)b^(a+c)c^(a+b)
证明：
因为：[a^(2a)*b^(2b)*c^(2c)]/[a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b)]
=[a^(a+a)*b^(b+b)*c^(c+c)]/[a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b)]
=a^[(a-b)+(a-c)]*b^[(b-a)+(b-c)]*c^[(c-a)+(c-b)]
=[a^(a-b)*a^(a-c)]*[b^(b-c)/b^(a-b)]*[1/c^(a-c)]*[1/c^(b-c)]
=(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(a/c)^(a-c)
因为：a＞b＞c＞0，所以：
a/b＞1、b/c＞1、a/c＞1
且，a-b＞0、b-c＞0、a-c＞0
那么，对于指数函数y=a^x，当a＞1，且x＞0时，有：y＞1
所以：(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(a/c)^(a-c)＞1*1*1=1
即：[a^(2a)*b^(2b)*c^(2c)]/[a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b)]＞1
所以：
[a^(2a)*b^(2b)*c^(2c)]＞[a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b)]