Question

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在2阶导数,并且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,g''(x)不等于0，

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

（1）证明：用反证法
若存在c∈(a,b)有g(c)=0
则在[a,c]上运用罗尔定理，存在d∈（a,c）使得g'(d)=0
同理，存在e∈(c,b)使得g'(e)=0
在[d,e]上使用罗尔定理，存在f∈（d,e)使得g"(f)=0,这与g"(x)不等於0矛盾
所以(a,b)内g(x)不等於0
（2）构造函数F(x)=f(x)g'(x)-f'(x）g(x)
求导得：F'(x)=f(x)g''(x)-f''(x）g(x)
对F(x)运用罗尔定理即可
再有第一题得出g(x),g'(x)均不为0就能得出结论（PS：一位同学帮我做的）

Answer 3

证明：用反证法
若存在c∈(a,b)有g(c)=0
则在[a,c]上运用罗尔定理，存在d∈（a,c）使得g'(d)=0
同理，存在e∈(c,b)使得g'(e)=0
在[d,e]上使用罗尔定理，存在f∈（d,e)使得g"(f)=0,这与g"(x)不等於0矛盾
所以(a,b)内g(x)不等於0