已知函数f(x)=-x³+ax²+b,(a,b∈R)
已知函数f(x)=-x³+ax²+b,(a,b∈R)若函数图像上任意不同两点连线的斜率小于1,求实数a的取值范围,[f(x1)-f(x2)]/(x1-...
已知函数f(x)=-x³+ax²+b,(a,b∈R)若函数图像上任意不同两点连线的斜率小于1,求实数a的取值范围,
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<1 ,然后要分主元和次元做,怎么做啊。不要用别的方法 展开
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<1 ,然后要分主元和次元做,怎么做啊。不要用别的方法 展开
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解:(1)设函数y=f(x)的图象上任意不同的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
不妨设x1>x2,
则(y1−y2)/(x1−x2)<1,即[−x 1^3+ax 1^2+x 2^3−ax 2^2]/[x1−x2]<1,
∴[−(x1−x2)(x1^ 2+x1x2+x 2^2)+a(x1−x2)(x1+x2)]/[x1−x2]<1
整理得:x1^2+(x2-a)x1+x2^2-ax2+1>0
∵x1∈R
∴△=(x2-a)^2-4(x2^2-ax2+1)<0即3x2^2-2ax2-a^2+4>0
∵x2∈R
∴△=4a^2-12(-a^2+4)<0即a^2-3<0
∴- 根号3<a<根号 3
方法二:
解:∵f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1
∴f′(x)<1
∵ f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b属于R)
∴f′(x)=-3x^2+2ax
∴-3x^2+2ax<1
∴-3x^2+2ax-1<0
3 x^2-2ax+1>0
只要判别式=4a^2-12<0
∴a^2<3
∴-√3<a<√3
不妨设x1>x2,
则(y1−y2)/(x1−x2)<1,即[−x 1^3+ax 1^2+x 2^3−ax 2^2]/[x1−x2]<1,
∴[−(x1−x2)(x1^ 2+x1x2+x 2^2)+a(x1−x2)(x1+x2)]/[x1−x2]<1
整理得:x1^2+(x2-a)x1+x2^2-ax2+1>0
∵x1∈R
∴△=(x2-a)^2-4(x2^2-ax2+1)<0即3x2^2-2ax2-a^2+4>0
∵x2∈R
∴△=4a^2-12(-a^2+4)<0即a^2-3<0
∴- 根号3<a<根号 3
方法二:
解:∵f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1
∴f′(x)<1
∵ f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b属于R)
∴f′(x)=-3x^2+2ax
∴-3x^2+2ax<1
∴-3x^2+2ax-1<0
3 x^2-2ax+1>0
只要判别式=4a^2-12<0
∴a^2<3
∴-√3<a<√3
追问
第一种方法里为什么把 x1当为主元,算出a的取值范围之后,还有把x2当为主元再算一次呢?
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