Question

已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=m,an+1=λan+n,bn=an-2n/3+4/9

Answer 1

1)a1=1,
a(n+1)=λan+n
a1=1,
a2=λa1+1=λ+1,
a3=λa2+2=λ²+λ+2
a1+a3-2a2=1+λ²+λ+2-2(λ+1)=λ²-λ+1=(λ-1/2)²+3/4≠0
∴a1,a2,a3不成
等差数列
∴{an}一定不是
等差数列
2)a1=m,a(n+1)=-an/2+n
∴a(n+1)-2(n+1)/3+4/9=-an/2+n-2(n+1)/3+4/9=-an/2+n/3-2/9=(-1/2)(an-2n/3+4/9),
即b(n+1)=(-1/2)bn
b1=a1-2/3+4/9=m-2/9
∴m=2/9时,{bn}每项都是0,不是
等比数列
;m≠2/9时,{an}是等比数列
3)m=2/9时,
Sn=0,不满足条件
m≠2/9时,bn是
等比数列
,公比为-1/2,
Sn=b1[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]=2b1[1-(-1/2)^n]/3
1/3<=Sn<=2/3,
即1/3<=2b1[1-(-1/2)^n]/3<=2/3
∴1/2<=b1[1-(-1/2)^n]<=1
①b1[1-(-1/2)^n]<=1,
b1<=1/[1-(-1/2)^n]恒成立,
即求1/[1-(-1/2)^n]的最小值,[1-(-1/2)^n]的最大值,(-1/2)^n的最小值
当n=1时,(-1/2)^n取得最小值-1/2,[1-(-1/2)^n]取得最大值1-(-1/2)=3/2,
此时1/[1-(-1/2)^n]取得最小值2/3
∴b1<=3/2
②b1[1-(-1/2)^n]>=1/2,
b1>=1/2[1-(-1/2)^n]恒成立,
即求1/[1-(-1/2)^n]的最大值,[1-(-1/2)^n]的最小值,(-1/2)^n的最大值
当n=2时,(-1/2)^n取得最大值1/4,[1-(-1/2)^n]取得最小值1-(1/4)=3/4,
此时1/[1-(-1/2)^n]取得最大值4/3
∴b1>=1/2×4/3=2/3
结合①②得
b1=m-2/9=2/3,
m=2/3+2/9=8/9
综上,m的
取值范围
为{8/9}