Question

在平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).

(1)求3a+b-2c(2)求满足a=mb+nc的m,n的值(3)若(a+kc)⊥(2b-a),求实数k(4)若d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)且|d-c| =1,求d

Answer 1

（1）3a+b-2c=（3*3-1-2*4，3*2+2-2*1）=（0，6）。
（2）要使a=mb+nc，即（3，2）=m(-1,2)+n(4,1)
则，-m+4n=3,2m+n=2
解上面方程组，得，m=5/9,n=8/9.
（3）若(a+kc)∥(2b-a),即（3+4k,2+k)//(-2-3,2*2-2)
那么（3+4k)/(-5)=(2+k)/2，则6+8k=-10-5k, k=-16/13
（4）若d＝(x,y).满足(d－c)∥(a+b),且|d－c｜＝1，也就是：(x-4,y-1)//(3-1,2+2)
(x-4)/2=(y-1)/4, 2(x-4)=y-1.
且|(x-4,y-1)|=1，即(x-4)^2+(y-1)^2=1，所以，5（x-4)^2=1, x=4±(√5)/5，相应地，y=1±2(√5)/5.
即d=(4±(√5)/5，1±2(√5)/5).

Answer 2

1）3a+b-2c=（0，6）。
（2）∵a=mb+nc，∴（3，2）=m(-1,2)+n(4,1)则，-m+4n=3,2m+n=2解上面方程组，得，m=5/9,n=8/9.
((2)(a+kc)(2b-a)=2ab-a^2+2kbc-kac=2-13-4k-14k=0 k=-11/184)（d-c)平行（a+b),设d=(x,y)则(4-x)/(1-y)=(3-1)/(2+2)=1/2,(4-x)^2+(1-y)^2=5解方程组得x=7/2,y=0,d=(7/2,0)或x=9/2,y=2,d=(9/2,2)

Answer 3

(1)mb=(-m，2m)，nc=(4n，n)
mb+nc=(4n-m，n+2m)
于是3=4n-m，2=n+2m
解得n=8/9，m=5/9
(2)a+kc=(4k+3，k+2)，2b-a=(-5，2)
(a+kc)平行(2b-a)，于是2(4k+3)=-5(k+2)
解得k=-16/13
(3)设d=(x，y)
d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2，4)，|d-c|=√[(x-4)²+(y-1)²]=√5
(d-c)平行(a+b),即4(x-4)=2(y-1)
解得x=3，y=-1或x=5，y=3
于是d=(3，-1)或(5,3)