Question

已知a1＞0，an+1＝1/2（an+1/an），n＝1,2,.....,证明此数列有极限并求之

Answer 1

数列an有极限，且极限等于1。

解：因为an+1＝1/2（an+1/an），且a1＞0。

那么an＞0，

则an+1＝1/2（an+1/an）≥1/2*2*√(an*1/an)=1。

即an有下限，且下限为1。

又an+1-an=1/2(an+1/an)-an

=1/2(1/an-an)

=(1-(an)^2)/an≤0。

那么liman存在，记作a，则≥1。

那么根据an+1＝1/2（an+1/an），

两边同时取极限，则可求得a=1。

即an的极限为1。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

根据a1＞0以及递推公式可知an＞0恒成立。
所以a(n+1)=1/2(an+1/an)≥1/2*2√(an*1/an)=1。
a(n+1)-an=1/2(1/an-an)=(1+an)(1-an)/(2*an)＜0，所以数列{an}单调递减。
所以1≤an＜a1，{an}有界。
所以数列{an}有极限，设lim(n→∞)
an=a。
递推公式两边求极限，a=1/2(a+1/a)得a=1或-1。
根据极限保号性，a≥1，所以a=1。
所以lim(n→∞)
an=1。