Question

初三数学二次函数难题

已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c均为实数且a≠0）满足条件：对于任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤（x+1）²/2成立。（1）求a+b+c的值。（2）求a-b+c的取值范围。 第一题我已求出a+b+c=2第二小题很容易知道a-b+c≥-2，但是不知道怎么求它小于多少。求高手帮忙

Answer 1

（1）因为二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c均为实数且a≠0）满足条件：对于任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤（x+1）²/2成立。所以当x=1时，有a+b+c≥2，a+b+c≤（1+1）²/2=2，所以有a+b+c=2，（2）因为二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c均为实数且a≠0）对于任意实数x都有y≥2x，所以有a-b+c≥-2，即a+b+c≥-2+2b，所以2b-2≤2，即b≤2，又因为二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c均为实数且a≠0）对于任意实数x都有y≥2x，即方程ax²+bx+c=2x有唯一解或者无解，所以△=（b-2)²-4ac≤0，所以（a+c)²-4ac≤0，即（a-c)²≤0，所以a=c。所以b=2-2a，所以二次函数为y=ax²+（2-2a）x+a=a（x-1)²+2x，又因为函数在0＜x＜2时，总有y≤（x+1）²/2成立，即a（x-1)²+2x≤（x+1）²/2，所以有a（x-1)²≤（x-1）²/2，即a≤1/2，同时因为b≤2，所以a＞0，所以0＜a≤1/2，所以1≤b＜2，因为a-b+c=a+b+c-2b=2-2b，因为-2＜2-2b≤0，所以-2＜a-b+c≤0