Question

求微分方程的特解 y'-2y/(1-x^2)=x+1 x=0,y=0 要过程。。。。。

Answer 1

积分因子为exp(∫-2/(1-x^2
)
dx)=(x-1)/(x+1)
微分方程两边同时乘(x-1)/(x+1)，得
(x-1)/(x+1)*y'+2*y/(x+1)^2=x-1
即((x-1)/(x+1)*y)'=x-1
两边积分并结合初始条件得
(x-1)/(x+1)*y=1/2*x^2-x
则
y=1/2*x*(x-2)*(x+1)/(x-1)

Answer 2

求微分方程的特解
y'-2y/(1-x²)=x+1
，x=0时y=0
。
解：由y′-2y/(1-x²)=0,得dy/y=2dx/(1-x²),积分之得:
lny=2∫dx/(1-x²)=∫[(1/(1+x)+1/(1-x)]dx=ln(1+x)-ln(1-x)+lnC₁=ln[C₁(1+x)/(1-x)]
故
y=C₁(1+x)/(1-x)，C₁是任意常数，把C₁换成x的函数u,于是可令
y=u(1+x)/(1-x)....................................(1)
(1+x)/(1-x)=y/u.
u=y(1-x)/(1+x)
将（1）对x取导数得：
dy/dx=[(1+x)/(1-x)](du/dx)+u[(1-x)+(1+x)]/(1-x²)=[(1+x)/(1-x)](du/dx)+2u/(1-x²)
=[(1+x)/(1-x)](du/dx)+2[y(1-x)/(1+x)]/(1-x²)=[(1+x)/(1-x)](du/dx)+2y/(1-x²)
代入原方程得：
[(1+x)/(1-x)](du/dx)=x+1
故有
du/dx=1-x
即du=(1-x)dx,
∴u=x-(x²/2)=x(2-x)/2
于是y=[x(2-x)/2][(1+x)/(1-x)]+C=x(2-x)(1+x)/2(1-x)+C=x(x-2)(x+1)/2(x-1)+C
代入初始条件x=0时y=0,故C=0,于是得原方程的特解为：y=x(x-2)(x+1)/2(x-1)