已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x-1

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2011)等于A.2... 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2011)等于
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
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zyb_ljg
2013-09-09 · TA获得超过2522个赞
知道小有建树答主
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答案A
分析:先由函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,得函数f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故有f(-x)=f(x).再把-2代入f(x+4)=f(x)+2f(2),可得函数周期为4;就把f(2011)转化为f(3)=f(-1)=f(1)即可求解.
解答:因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,
所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故有f(-x)=f(x).
∵对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),
∴f(-2+4)=f(-2)+2f(2)=>f(-2)+f(2)=0=>2f(2)=0=>f(2)=0
∴f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x).即函数周期为4.
∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2.
故选A.
点评:本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性等,抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.
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