Question

5，若点O和点F分别为椭圆x^2/4+y^2/3=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，

则向量OP·向量FP的最大值为
A 2 B 3 C 6 D 8
我的做法：
设OP=x ,则FP=2a-x=4-x , cosθ=[x^2+(4-x)^2-c^2]/[2x·(4-x)] ,
向量OP·向量FP=x·(4-x)·[x^2+(4-x)^2-1]/[2x·(4-x)],
∴最大值为7/2
我这么做有什么不对？

Answer 1

设OP=x ,
则FP=2a-x=4-x
【这是错的，设右焦点为F',则PF+PF'=2a才对呀】

正确做法：
易知F(1,0),
设P(m,n), (-2≤m≤2)
∴m²/4+n²/3=1
∴n²=3(1-m²/4)

又OP=(m,n),FP=(m-1,n)
∴OP●FP
=m(m-1)+n²
=m²-m+n²
=m²-m+3(1-m²/4)
=1/4m²-m+3
=1/4(m-2)²+2
∵-2≤m≤2
∴当m=-2时，OP●FP取得最大值6
当m=2时，OP●FP取得最小值2

选C