Question

数学神题！！求大神！！

抛物线y=4x∧2,过p做俩直线分别切抛物线于A,B，直线AB过焦点F，证明P点在一点定直线上，并求P点轨迹方程

Answer 1

(1)y=4x^2上点（t，4t²）上的切线斜率为8t
切线斜率可求导得到，若没学过导数，可设切线斜率为k,那么 切线为y-4t²=k(x-t)
带入抛物线方程可得 4x²-kx+kt-4t²=0 ，切线和抛物线仅一交点，可得
Δ=(-k)²-4×4×(kt-4t²)=(k-8t)²=0 所以k=8t

焦点为F(1,0),设P点坐标为(xp,yp), 切线PA斜率为8t,那么A点坐标为(t,4t²),
那么AF所在直线为y=[(4t²-0)/(t-1)](x-1) 带入抛物线方程y=4x²得到(t-1)x²=t²(x-1)
本方程有解x=t（A点横坐标）和x=t/(t-1) （B点横坐标)
所以B点坐标为(t/(t-1), 4t²/(t-1)²) ,B点切线斜率为8t/(t-1)
所以有 (yp-4t²)/(xp-t)=8t 注PA斜率
[yp-4t²/(t-1)²]/[xp-t/(t-1)]= 8t/(t-1) 注PB斜率
解得xp=t²/[2(t-1)] yp=4t²/(t-1)
消去t可得到yp=8xp
即p在直线y=8x上

Answer 2

先求抛物线焦点X²=2py 焦点坐标为（0，p/2）=（0，1/16）

下面我们把问题反过来想就变成了过焦点F的相交于抛物线两点A,B 在A,B 分别作切线 然后两切线相交于点P的轨迹，于是

过F点的直线方程为l：y=ax+b 将F带入l： y=ax+1/16
将这个直线l与抛物线联立 4x²=ax+1/16 运用二次方程万能公式
x1=(a+√a²+1)/8 x2=(a-√a²+1)/8
y1=[2a²+2a√(a²+1)+1]/16 y2=[2a²-2a√(a²+1)+1]/16
，解得两个交点的坐标A，B
这个是初中的题吧，应该没学过导数那我们就用初中的方法求一下过A B切线的参数方程
将过A的直线写出表达式 y=cx+d 将A点坐标（x1，y1）带入得到表达式，与抛物线联立得到一个二次方程，因为是切线所以这个方程只有一个解，用二次方程判别式b²=4ac 确定该直线方程的未知量X的系数c 同理在求得 过B直线的一次系数 ，由于运算略显得复杂我就不算了直接求导得到两条直线的表达式，
A：y=[3a+3√(a²+1)]x/4-[2a²+2a√(a²+1)+1]/32
B：y=[3a- 3√(a²+1)]x/4 -[2a²-2a√(a²+1)+1]/32
再次将这俩方程联立。就是P的坐标。。
px=a/12 py=-1/32
由于这个a的取值与我们做出的过F的斜率有关，也就是说无论a取什么值，该点的纵坐标总是恒等于-1/32 于是p的轨迹方程就是y=-1/32