Question

设XY∈R集合A={(x,y)|x²-y²=1},B={(x,y)|y=t(x+2)+3},若A∩B中只有一个元素，求t值。

Answer 1

A图形是双曲线，B图形是直线，A∩B只有一个元素说明双曲线和直线只有1个交点

直线与双曲线只有1个交点的情况有2种：1、直线与双曲线的渐近线平行。2、直线与双曲线中一根曲线相切。

第1种情况比较简单，双曲线渐近线方程是y=±x，直线与渐近线平行的话只要直线的斜率与渐近线斜率一致就行，也就是t=±1，验算一下此时原直线方程展开后为y=tx+(2t+3)截距2t+3不为0，截距为0的话就是渐近线了，所以t=±1是正解。

第2种情况计算复杂点，直接将直线方程带入双曲线方程，获得的一元二次方程中，b2-4ac=0就可以了，但是直接代进去算略显蛋疼啊……

于是想个替代的办法，设直线y=mx+n与双曲线x2-y2=1仅有一个交点，将直线方程带入双曲方程，整理后得(1-m2)x2-2mnx-(n2+1)=0，其求根公式中当b2-4ac=0时，直线与双曲线只有一个交点，得到n2-m2+1=0。

将原题中直线方程y=tx+(2t+3)，那么只要(2t+3)2-t2+1=0，双曲线和直线只有1个交点，也就是A∩B只有一个元素……剩下就不做了，自己算算吧……
以上仅为参考，计算过程可能有误，应该有更简便的方法，求高人指点……

Answer 2

带入y=t(x+2)+3到x²-y²=1,得
x²-(tx+2t+3)²=1 => (1-t²)x²-(4t²+6t)x-4t²-12t-10=0
∵A∩B只有一个元素<=>上式只有唯一根
∴若t=±1时，上式为一次函数，显然只有唯一根
若t≠±1，则上式为二次函数，有唯一根<=>判别式△=0
即(4t²+6t)²+4(1-t²)(4t²+12t+10)=0
=>3t²+12t+10=0 => t=(-6±√3)/3
∴A∩B只有一个元素，则t=±1或(-6±√3)/3