Question

lim (x-sinx)/[x^2ln(1+x)] x趋近于0

Answer 1

解：
分析：方法还是比较多的，不知道你学到那个阶段了，这里只用比较简单的初级的，泰勒定理的就不用了！
这种题，首先考虑应用等价无穷小替换！
显然：ln(1+x)
～
x
分母等价为：x³
对于分子：
(x^x)·[1-(sinx/x)^x]
(x^x)·{1-e^[xln(sinx/x)]}
∵
lim(x→0+)
xln(sinx/x)
=0
∴
1-e^[xln(sinx/x)]
～
-xln(sinx/x)
-xln(sinx/x)=
-x
ln[1+(sinx-x)/x]
ln[1+(sinx-x)/x]
～
(sinx-x)/x
∴
1-e^[xln(sinx/x)]
～
x-sinx
根据基本公式：
x-sinx
～
(1/6)x³
∴
分子等价于：(x^x)(1/6)x³
而：
lim(x→0+)
x^x
=e^lim(x→0+)
xlnx
=e^lim(x→0+)
lnx/(1/x)
=e^lim(x→0+)
(1/x)/(-1/x²)
=1
综合：
原极限
=lim(x→0+)
(x^x)·[1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+)
[1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+)
{1-e^[xln(sinx/x)]}/x³
=lim(x→0+)
-xln(sinx/x)]/x³
=lim(x→0+)
-xln[1+(sinx-x)/x]]/x³
=lim(x→0+)
-x·[(sinx-x)/x]
/
x³
=lim(x→0+)
(x-sinx)/x³
=1/6