Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率是根号6/3过椭圆上一点m作直线ma，M

Answer 1

e=c/a=根号6/3，即有c^2/a^2=2/3,(a^2-b^2)/a^2=2/3,1-b^2/a^2=2/3,b^2/a^2=1/3
设a坐标是（x1.y1),b(x2,y2),m(
xo,yo),ab关于原点对称，则有x1=-x2.y1=-y2
k1=k(ma)=(y1-yo)/(x1-xo),
k2=k(mb)=(y2-yo)/(x2-xo)=(-y1-yo)/(-x1-xo)=(y1+yo)/(x1+xo)
k1k2=(y1^2-yo^2)/(x1^2-xo^2)
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
xo^2/a^2+yo^2/b^2=1
所以有：(x1^2-x0^2)/a^2+(y1^2-yo^2)/b^2=0
k1k2=(1/a^2)/(-1/b^2)=-b^2/a^2=-1/3

Answer 2

(1)c/a=√6/3，c=2√2，得a=2√3，a²=12，b²=4
于是椭圆方程为x²/12+y²/4=1
（2）设AB中点为D（x0，y0），直线AB方程为y=x+b
联立方程得4x²+6bx+3b²-12=0
x1+x2=-3b/2，y1+y2=x1+x2+2b=b/2
于是x0=-3b/4，y0=b/4
而PD垂直AB，所以PD斜率为-1
[（1/4）b-2]/[（-3/4）b+3]=-1，得b=2
于是直线AB方程为y=x+2，|AB|=（√2）√[（x1+x2）²-4x1x2]
x1x2=（3b²-12）/4=0，x1+x2=-3b/4=-3/2，得|AB|=（3/2）√2
|PD|=|-3-2+2|/√2=（3/2）√2
S△PAB=（1/2）|PD|*|AB|=9/4