Question

如图所示，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8

Answer 1

上面说法似乎不大对，既然D在AB边上，所以位于什么位置无非是AD或BD的长度为多少。一楼X=2，大概是BF或CF的长度
直角三角形
ABC中，BC=4，AC=8，则AB=4√5
设BD为X，则AD为4√5-X
DE⊥AC，∠DEC=90；DF⊥BC，∠DFC=90。且∠C=90
四边形DECF为矩形
因为DF∥AC，简单有△BDF∽△BAC。BD：AB=DF：AC
所以DF=2√5X/5
因为DE∥BC，简单有△ADE∽△ABC。AD：AB=DE：BC
DE=4-√5X/5
S矩形=DE×DF=-2X²/5+8√5X/5
当X=（-8√5/5）/（-2/5×2）=2√5时，矩形DECF有最大面积
此时BD=2√5
这个结果与我们已知，当D运动到中点时面积最大完全符合

Answer 2

设ad=x
ab^2=bc^2+ac^2=4^2+8^2=80
ab=4√5
所以bd=4√5-x
因为三角形ade.相似三角形abc
所以de/bc=ad/ab
de=x/4√5*4x=√5*x/5
同理
ed/ac=bd/ab
ed=8*(4√5-x)/4√5=2/5(√5*（4√5-x}
四边形decf的面积=ed*df=2/5(√5*（4√5-x}*√5*x/5
=2/5(4√5x-x^2)
=-2/5(x^2-4√5x+4*5-20)
=8-2/5(x-2√5)^2
当x=2√5时
面积最大
即2√5*2=4√5
d是中点