Question

利用等价无穷小的替换求下列极限: limln(x+√(1+x^2))/x x→0

Answer 1

通过泰勒公式可以在0点展开ln(x+√(1+x^2)：
ln(x+√(1+x^2)=x+o(x)
o(x)表示余项是x的高阶无穷小
所以代入原式=limln(x+√(1+x^2))/x=lim[x+o(x)]/x=1
上式中当x趋于0时，o(x)表示x的高阶无穷小，故答案为1
等价无穷小的代换是有条件的，即只有在连乘时才能替换，类似这种题目必须结合泰勒公式来展开替换，并且余项要写全，这类替换属于等价代换，属于无条件的代换了，即任何情况下都成立的。