Question

证明方程 x^5+x+1=0在区间（-1，0）内只有一个实根

Answer 1

设f(x)=x^5+5x+1
f(0)=1,f(-1)=-3
所以在区间(-1,0)f(x)和x轴有交点,即x^5+5x+1=0区间(-1,0)内有实根
f'(x)=5x⁴+5＞0
所以f(x)是单调递增函数,与x轴只有一个交点
综上所述方程x^5+5x+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根

Answer 2

令f（x）=x^5+x+1
f(x)在
(-1,0)上连续
f'(x)=5x^4+1>0,
f(x)
在(-1,0)上单调递增
f(-1)=-1<0
f(0)=1>0
所以f(x)=x^5+x+1在(-1,0)上只有一个零点
所以
方程
x^5+x+1=0在区间（-1，0）内只有一个实根