Question

高数题，求解

第十九题，既然不能用等价代换变成3x-5x那么该咋做？

Answer 1

方法1：用洛必达法则
原式=lim(x->0) (3cos3x-5cos5x)
=3-5
=-2
方法2：用泰勒公式
原式=lim(x->0) {[3x+o(x)]-[5x+o(x)]}/x
=lim(x->0) [-2x+o(x)]/x
=lim(x->0) [-2+o(x)/x]
=-2+0
=-2
方法3：用和差化积公式
原式=lim(x->0) [2cos4x*sin(-x)]/x
=lim(x->0) (-2sinx)/x
=-2
方法4：用拉格朗日中值定理
设f(t)=sint，存在k∈(3x,5x)，使得f'(k)=[f(3x)-f(5x)]/(3x-5x)
即cosk=(sin3x-sin5x)/(-2x)
因为当x->0时，k->0
所以原式=lim(k->0) (-2cosk)
=-2

Answer 2

洛必达法则，分子分母同时求导

Answer 3

这题代换是没有问题的
尽量不要归纳诸如“两个式子的差不能用等价代换”这样的“规律”，不懂为什么，这些都是误导

Answer 4

Answer 5

原式=lim(x一>0)sin3x/x
-lim(x一>0)sin5x/x
=3-5=-2