Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-1，0]上是减函

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-1，0]上是减函数，那么f（x）在[1，3]上是
A. 增函数
B. 减函数
C. 先增后减的函数
D. 先减后增的函数

Answer 1

答案D
分析：先确定函数的周期为2，再判断函数f（x）在[0，1]就是增函数，由此可得结论．
解答：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）
∴函数的周期是2
又函数f（x）在定义域R上是偶函数，在[-1，0]上是减函数，
∴函数f（x）在[0，1]就是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]是减函数，在[2，3]是增函数
故f（x）在[1，3]上是先减后增的函数
故选D．
点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的周期性，考查学生的探究能力，属于中档题．