Question

刘老师您好，想向您请教一道线性代数题目，谢谢

已知二阶方阵A= [3 9]

[1 3]

求A^n。(其中A^n表示n个A相乘得到的方阵)

Answer 1

因为A的特征多项式f(x)=|xE-A|=x(x-6), 所以A的特征值为x1=0,x2=6,
进而特征值0的特征向量为满足方程AX=0的解a1=(3,-1)^T,
特征值6的特征向量为满足方程(6E-A)X=0的解a2=(3,1)^T,
以a1,a2为列,构造矩阵P=[3, 3]
[-1, 1]
则P^-1AP=diag(0,6)（以0，6为对角线元素的对角阵），因而
A^n=P (diag(0,6))^n P^-1=[3*6^{n-1}, 9*6^{n-1}]
[6^{n-1} , 3*6^{n-1}].

Answer 2

可以用特征值特征向量的方法, 但比较麻烦
由于A的秩为1, 所以有更好的方法. 如下:

A = (3,1)^T (1,3) -- 这是一个列向量与一个行向量的乘积
所以 A^n = (3,1)^T (1,3) (3,1)^T (1,3) ... (3,1)^T (1,3)
= (3,1)^T [(1,3)(3,1)^T] [(1,3)...(3,1)^T] (1,3)
= 6^(n-1) (3,1)^T (1,3)
= 6^(n-1) A
= ...简单数乘

Answer 3

这个要是用特征值不太好，建议这样来做
可以看出A=（3,1）^T（1,3），这样一来就得出结论A^n=6^{n-1}A